natik

Loge. Lem- und Arbeit: hie

Informatik

Logo Lern- und Arbeitsbuch

Jochen Ziegenbalg

westermann

1989 1988 1987 1986 Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr der Herstellung

l. Auflage 1986

Verlagslektorat: Klaus-Peter Schrage, Rita Dittbrenner

Einbandegestalter: Heinz Neumann

Zeichnungen: Techn.-Graph. Abteilung Westermann

Titelfoto: Dieter Rixe, Braunschweig

Die Druckvorlage zu diesem Buch wurde im Laserdruck-Verfahren bei der Firma Computer Point (Tübingen) erstellt

Gesamtherstellung: poppdruck, Hannover-Langenhagen

ISBN 3-14-112770-0

Inhalt

Kapitel 1: Erste Grundelemente des Programmierens s...rrssssn0000nneonnnnnonnn nn nn 00000 5 ı.i Wie: man:dem Gopnipüter"Lox0” Deibriäet „eneunnnenneennnmnm 5 1.2 Logo im "Taschenrechner-Betrieb" _............. Be SELTENE SSTORTRSET Ö 1.3 Computer-Zahlen .....eeeserooonn VENEN ANORIIRUETSITERTEANN ER AE ET 9 1:4 Suüper-Belehle f Prözedyren anne 10 1.5 Wie man Prozeduren abändert (Hinweise zum Logo- EHNSEN nennen .„ Is 16 Wie:man Prozeduren verlassen kan einen ıE 7 Zeichönkeften und Wörter aunuen er . 18 1.5 Druckbefehle ..sassecrneren NEN EEE OUIO-TOURNEERENE STAR ie i:9 Funktionen somneneneanuhiinRimIIIRRINITIEIEE SD 1:10. Was'ist am Froganmm! a IE ENERSTERSREN AN wa 2 1:11 Der Arbeitsspeicher ..n..nsnineaeenrenhmnn 29 1.12 Wie man seine Arbeit dauerhaft auf einer Diskette abspeichert RTRTER 30 Kapitei 2: Grundlegende Programmiertechniken _....... NE SER one 2: "WAraol uni 31 2.2 Wiederholungen .......... ee NEE NEN 32 DNB. ee nr ERTL 33 2,4 Prozeduren, die sich selbst ZUITHIEN nenne 35 2.5 Lokale Variable SEIN EIER IDRE Zn 36 2.6 Bekürsive Funktionen auanunnaun RETTET 40 Be BIER ee ea ee nserheee een u. 43 2 SPFUEWOFIET Sasse rss usa nie ken nat see 46 Kapitel 3: Aus der Teilbarkeifslehre wu.danansnsnisnen genen .. 48 IH "TEUER 48 3.2. Vielfache ....... EEE NE EN SIR RER RER UL IELEICEE EHEN REER CR ENNONE NER SNCHEENE TEURER RNCHIER SAUREN . 62 33: Primzahlen sinne RT Fe SE ESERERTTETPENE aa 64 3.4 Der größte gemeinsame Teiler VEIT ER EERERTRENNENEEIPRLERFN ERROR ı 28 3,5: Däs'kleinste keieinsame Vielfache: unnnanuaenunniunnieenen 86 Kapitel 4: Brüche und Anwendungen c.sersseennenennannnenn NEENURLTERUERUSTE een DE 3: KBIDERE: nrerabsNhlssls STR NEE LOFT TER NIIT 92 4.2 Mischungsrechnung EI EEE UNENEIRIESUNUEN 96 4.3 Zinseszinsen und geometrisches Wachstum ..ecssenserseanennnnnennnennenneen TERTENENES 100 Kapitel 5: Funktionen, Wertetafeln, Schaubilder ....... PERLE EEE OR ini HER 1: Wertktsiehn la 106 S2 Funktionsschaubilder TITEL 112 »,3 Polynome und das Hörner-Schemä ...monnsnannnnussnensnnunnsenneenennen nenn anne 122 5,4 Stellenwertsysteme csccssessenssnenenenesnsenenn SEID 125

Kapitel 6: Simulation zufälliger Ereignisse nn ea erhnie 131

5:1 WET re MEER ER ie 131 er SE 21 EEE NE NUR NENEERTEETNERAENGE SONIRIEEERRUDEERENE ANETERG: PINENERUEENRR. CHIERIERS ARE 132 6.3 Krumme Nägel „nisse EEE PETE er 133 8.4: Häufiskeitstabellen: ...0neunseneun KENN IRIUEIeR REISEN eg 135 5:3: SOTHIETEN: zssaseeKeore EN ENEErE. NNEUNI VENEN ER AESEHNEE.S = IR-EURLTERNIER SERIEN 138 6:6 Eine: Konlette-Stratemde: „een FEN 140 6.7 Wer kommt zum Höfleswetz-Turnier? _......... EIN NIT an ae 141 6:8: Stabdupianime CHOR) nungen; De Stichwortverzeichnis .....u een ee ee A

Ein Hinweis zur Hardware- Abhängigkeit dieses Buches

Die Beispiele dieses Buch sind zunächst einmal für den Commodore 64 Computer geschrieben. Der größte Teil von Logo ist aber ziemlich geräteunabhängig (im Computer-Jargon sagt man: portabel). Ein großer Teil der Programme läuft deshalb unverändert zum Beispiel auch auf dem APPLE II Computer und dazu compatiblen Geräten. Selbst im Graphik-Bereich besteht eine gewisse Verträglichkeit zwischen dem deutschen Commodore Logo und dem deutschen Apple Logo.

Wesen dieser in der Computer-Branche ungewöhnlich hohen Portabilität von Logo kann man mit der hier verwendeten Version auch im "Mischbetrieb" mit Commodore 64 und APPLE II Computern arbeiten. Es ist insbesondere auch möglich, daß viele der Programme, die an einer Schule auf APPLE II Computern erarbeitet wurden, von Schülern zu Hause praktisch unverändert in einen Commodore 64 eingetippt und zum Laufen gebracht werden können. Auch das Umgekehrte geht natürlich.

Auf drei Abweichungen sei hier jedoch hingewiesen:

* Die "Sprite"-Befehle des Commodore 64 Logo laufen auf dem APPLE II nicht.

* Das deutsche Logo für den APPLE II verfügt zur Zeit noch nicht über das Logo-Grundwort LOKAL. Befehle wie zum Beispiel LOKAL "X oder LOKAL "ZAEHLER (oder ähnlich) sind beim Übertragen auf den APPLE II einfach wegzulassen. Allerdings werden die entsprechen- den Variablen dann global (was das bedeutet, wird später erläutert).

* An Stelle des hier verwendeten LIESLISTE-Befehls ist beim APPLE II der gleichwertige Befehl EINGABE zu verwenden.

Die hier benutzte deutsche Version von Logo ist bei der Firma IWT Verlag GmbH, Dahlienstr. 4, D-8011 Vaterstetten / Baldham (bei München) als deutscher Sprach- zusatz zum englischen Commodore Logo oder als eigenständiges deutsches Logo für den APPLE II Computer zu erhalten.

Kapitel 1: Erste Grundelememte des Programmierens

1.1 Wie man dem Computer "Logo" beibringt

Wenn man einen Taschenrechner einschaltet, dann ist er sofort betriebsbereit. Bei den meisten Heim-Computern ist das auch der Fall; allerdings kann man dann nur in der Programmiersprache BASIC, nicht aber in Logo mit ihnen arbeiten. Man sagt dann "der Computer hat BASIC im ROM", Die Abkürzung ROM steht für read only memory, zu deutsch "Nur-Lese-Speicher". Die Inhalte dieses Speichers können nur gelesen, nicht aber verändert werden. Auch nach dem Ausschalten des Com- puters gehen die Inhalte dieses Speichers nicht verloren. Man nennt ihn deshalb auch den Festwertspeicher des Computers. Der eigentliche Arbeitsspeicher des Computers wird als RAM bezeichnet. Dies ist eine Abkürzung für random access memory und bedeutet "Speicher mit wahlfreiem Zugriff", Die Inhalte dieses Spei- chers können beliebig abgerufen ("gelesen") und überschrieben werden.

Nur einige der allerneuesten Computer haben Logo im ROM. Bei den anderen muß man Logo von einer Diskette "laden", wenn man in dieser Sprache mit dem Com- puter sprechen will. Dies gilt auch für den Commodore 64. Der Ladevorgang ist nicht weiter kompliziert; er braucht nur ein klein wenig Zeit. Dies sind die einzel- nen Schritte:

(1) Schalte den Computer, das Diskettenlaufwerk und den Bildschirm ein.

(2) Lege die Logo-Diskette in das Laufwerk und schliesse die Laufwerkstür,

(3) Tiprope LOAD "DLOGO",8,1 und betätige die <RETURN> - Taste. Das Dis- kettenlaufwerk beginnt zu surren, und gleichzeitig erscheint am Bildschirm die Mel-

dung:

SEARCHING FOR DLOGO

LOADING Die Diskette läuft knapp anderthalb Minuten; dann erscheint am Bildschirm die Meldung:

READY.

und der quadratische Blinker (englisch: cursor) ist wieder da.

WILLKOMMEN BEI LOGO!

?<Blinker> Das Fragezeichen ist das sogenannte Logo-Bereitschaftszeichen (englisch: prompt). An diesem Zeichen können wir erkennen, daß wir im Logo-System sind und daß Logo bereitsteht, um von uns eine Eingabe entgegenzunehmen. Zum Beispiel die folgende:

?3*4 <RETURN> Logo reagiert mit:

ERGEBNIS: 12

Der oben benutzte Name DLOGO soll deutsches Logo bedeuten. Wenn man mit dem englischen Logo von Commodore arbeiten möchte, ist beim dritten Schritt an Stelle von DLOGO nur LOGO einzugeben. Der Ladevorgang verläuft beim eng- lischen Commodore Logo entsprechend. Allerdings schnarrt bei dieser Version das Laufwerk wegen der Kopierschutz-Einrichtung sehr unangenehm - eine äußerst störende und irritierende Sache!

1.2 Logo im "Taschenrechner-Betrieb"

Das letzte Beispiel hat gezeigt, daß man mit Logo offenbar ähnlich wie mit einem Taschenrechner arbeiten kann. Stellen wir uns einmal vor, wie wir dıe Rechnung 2+3 mit einem Taschenrechner ausführen:

* 7Zunächst geben wir die "Rechnung" 2+3 ein.

* Es tut sich nichts. Denn da der Taschenrechner nicht "wissen" kann, ob wir 2+3 oder vielleicht 2+3.1 so gar 2+3.14 ausrechnen wollen, müssen wir ihm sagen, wann die Eingabe der zweiten Zahl beendet ist.

* Dies tun wir, indem wir das Gleichheitszeichen "=" eingeben.

* Jetzt führt der Taschenrechner die Rechnung aus und stellt das Er- gebnis 5 auf seinem kleinen Anzeigefeld dar.

In Logo geht es fast genauso. Wir müssen nur an Stelle des Gleichheitszeichens die <RETURN>-Taste drücken. Die <RETURN>-Taste wird immer dann benutzt, wenn die Eingabe einer Zahl, eines Rechenausdruckes oder eines Wortes abge- schlossen werden soll. An Stelle des Begriffs "«RETURN>-Taste" findet man häufig auch die Bezeichnung "CARRIAGE-RETURN-Taste" oder die Abkürzung "CR-Ta- ste". In Zukunft wird (außer in Ausnahmefällen) nicht mehr extra erwähnt werden, daß man die <RETURN>-Taste drücken muß, um die Eingabe von Daten abzu- schließen. Probieren wir es gleich einmal in Logo aus:

2+3 ERGEBNIS: 5

Wir können auch längere Ausdrücke eingeben. (Die Eingabe der letzten Zahl muß mit RETURN abgeschlossen werden).

1+2+3+4+5+6+7+8+9 ERGEBNIS: 45

Ob Logo wohl die Punkt-vor-Strich-Rechnung beherrscht? Ein kleiner Test gibt Aufschluß darüber:

2+3*4 ERGEENIS: 14

Wir können auch Klammern setzen:

(2+3)*4 ERGEBNIS: 20

(10+1)*(10-1) ERGEBNIS: 99

(100+1)*(100-1) ERGEBNIS: 9999

(1000+1)*(1000-1) ERGEBNIS: 999999

Diese taschenrechner-ähnliche Arbeitsweise, die wir eben kennengelernt haben, nennt man den Direktbetrieb von Logo.

Eigentlich wollen wir ja lernen, wie man Logo-Programme schreibt, aber kleinen Problemen der folgenden Art kann man auch schon einmal im Direktbetrieb zu Leibe rücken.

Ein Beispiel: Das Schachspiel wurde etwa im siebenten Jahrhundert in Indien er- funden. Es wird berichtet, daß das Spiel den Herrscher Shihram, in dessen Reich es erdacht worden war, so begeisterte, daß er dem Erfinder des Schachspiels, dem Weisen Sissa Ibn Dahir, die Erfüllung eines Wunsches versprach.

Der Erfinder sprach die folgende Bitte aus; er wolle nur einige Reiskörner haben; und zwar eines auf dem ersten Feld des Schachbretts, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten, acht auf dem vierten, sechzehn auf dem fünften, usw.; auf jedem Feld das Doppelte des vorherigen Feldes.

Der Herrscher, der sich auf eine Bitte um Gold oder Juwelen eingestellt hatte, war über so viel Bescheidenheit erstaunt. Erst nach einigem Nachdenken stellte sich heraus, daß der Wunsch weit teurer war als alle Reisvorräte, alles Gold und alle Edelsteine des Herrschers zusammengenommen.

Wir wollen einmal der Frage nachgehen, wie viele Reiskörner auf den einzelnen Feldern des Schachbretts liegen.

Feld-Numner ! Anzahl der Reiskörner

1 ! 1 2 ! 2 3 ! 4 4 ! 8 5 | l6 6 ! 32 Y ! 64 8 | 128 g | 256 lO | 512 11 ! 1024 20 ! ?

u | Er“ 40 ! ?

l

64 ! ?

Tabelle 1.1 Aufgabe 1.1: Fülle die Tabelle aus (zum Beispiel mit Hilfe eines Taschenrechners). Man kann die Schachbrettzahlen auf die folgende Art etwas systematischer darstel-

len: An Stelle von 4 können wir auch 2*2, an Stelle von 8 auch 2*2*2, an Stelle von 16 auch 2*2*2*2 schreiben, usw. Fertigen wir dazu eine neue Tabelle an:

Feld-Nummer ! Anzahl der Reiskörner

mm m mm IE im Im Hmm im mm: Hamm Hm mm mm dm HH HN HE) HH m Mm HEN HE HH FEN: NEN AN m Am Gm DS

2%2%2%2%*2 2r2k2k2%#2%*2 ArR2r2r2r2r2%*2 Dr2K2K2r2k2r2#2 ArR2K2K2r2K2r2#2%2 DRZKRZK2K2K2H2H2K2%#2

.ı ro JaubuUßMbNH . Ho s— de de a — ee dee +

Tabelle 1.2

Wenn wir wissen wollen, wie viele Reiskörner sich auf dem Feld Nr. 5 befinden, müssen wir also ein Produkt aus vier Faktoren 2 bilden. Beim Feld Nr. 11 ist eın Produkt aus 10 Faktoren, beim Feld Nr. 20 aus 19 Faktoren, beim Feld Nr. 40 aus 39 Faktoren und schließlich beim Feld Nr. 64 aus 63 Faktoren 2 zu bilden.

Wir rechnen zur Probe die Anzahl der Reiskörner auf Feld 10 nach dieser Methode im Direktbetrieb aus:

Fe ) ERGEBNIS: 512

Die Anzahl der Körner auf Feld Nr. 20 beträgt also:

DET DEU DU 2227202 ERGEBNIS: 524288

Auf Feld Nr. 30 beträgt die Anzahl der Körner:

DEIBIRSEZENDIDRIRDEIE IP IF I RIP WIE EEE IF DE DI IE II 32 ERGEBNIS: 536870912

Bei Feld Nr. 31 führt diese Methode zur Körnerzahl 1073741824,

Geben wir nun für Feld Nr. 32 den Ausdruck

DEOROEDENEHEORH EHE EHRE D EHE DK FD F DE D ED HERD DEF FD FD FF) (31 Faktoren) in den Computer ein, so erhalten wir das Ergebnis 2.14748E9. Dabei bedeutet 2.14748E9 dasselbe wie 2.14748 mal 1 000 000 000 beziehungsweise 2 147 480 000.

Aufgabe 1.2: Berechne zur Probe die Anzahl der Körner auf Feld Nr. 32 von Hand und vergleiche die Ergebnisse.

1.3 Computer-Zahlen

Beim Übergang von Feld Nr. 31 auf Feld Nr. 32 ist folgendes passiert: Bis ein- schließlich zum Feld Nr. 31 wurden alle Körnerzahlen als ganze Zahlen berechnet. Dies war von der Sache her auch angemessen. Bei der Berechnung der Körnerzahl für Feld Nr. 32 wurde die größte ganze Zahl, die in Logo darstellbar ist, über- schritten. Logo schaltete deshalb automatisch in die "Gleitkommadarstellung" (eine Art Dezimalzahldarstellung) um. In dieser Darstellungsform können größere Zahlen verarbeitet werden. Allerdings rechnet Logo im Gleitkommaverfahren immer nur mit den 6 wichtigsten Ziffern; die anderen Ziffern werden abgeschnitten. Deshalb sind Ergebnisse in der Gleitkommadarstellung meist nur näherungsweise richtig. (Mit den sechs "wichtigsten" Ziffern sind im allgemeinen die am weitesten links ste- henden Ziffern gemeint. Zum Beispiel sind in der Zahl 390857619 die Ziffern 3 9 085 7 die sechs wichtigsten. Führende Nullen werden aber nicht zu den wichtig- sten Ziffern gezählt. Die sechs wichtigsten Ziffern der Zahl 0.0390857691 sind also ebenfalls 390857).

Merke:

(1) Logo kennt zwei Sorten von Zahlen: ganze Zahlen und Gleitkommazahlen (eine Art Dezimalzahlen).

(2) Die in Logo verfügbaren ganzen Zahlen reichen von -2147483647 bis +2147483647.

(3) Der Bereich der positiven Gleitkommazahlen reicht in Logo von 16° also von 0.00000000000000000000000000000000000001 (37 Nullen hinter dem Dezimalpunkt) bis 10”, also bis 100000000000000000000000000000000000000 (38 Nullen). Logo rechnet dabei aber nur mit den 6 wichtigsten Ziffern. Zu jeder positiven Gleit- kommazahl gibt es noch die entsprechende negative Gleitkommazahl (Vorzeichenwechsel).

(4) Bei Gleitkommazahlen bedeutet der Zusatz E5 soviel wie "mal 10°" (E steht für Exponent); der Zusatz N3 bedeutet "durch 10°" (N steht für negativer Exponent). Beispiele:

3.586E7 steht für 35860000 2.37N5 steht für 0.0000237

(5) Im Bereiche des Zahlenrechnens weisen (fast) alle Computer und (fast) alle Pro- grammiersprachen leider unglaublich große Schwächen auf. Dies gilt besonders für die Home- und Personal-Computer. Hier ein Beispiel im Direktbetrieb:

I #3

ERGEBNIS: 0.333333

L/3 = 02333333

ERGEBNIS: 4.17232N7 (an Stelle von Null)

Wenn wir nun schließlich noch die Reiskörner auf Feld 40 bzw. 64 nach der oben beschriebenen Methode berechnen, so erhalten wir

auf Feld 40 5.49756Ell und auf Feld 64 9.22338E18 Körner.

Aufgabe 1.3: Stelle die Zahl der Reiskörner auf Feld 40 und Feld 64 in der übli- chen Schreibweise (ohne das Symbol E) auf.

Aufgabe 1.4: Ermittle einen (groben) Schätzwert für die Anzahl der Reiskörner, die man benötigst, um einen Rauminhalt von einem Kubikzentimeter, einem Ku- bikdezimeter und einem Kubikmeter zu füllen,

Aufgabe 1.5: Welche Höhe würde die Reismenge einnehmen,

(a) wenn man sie sich als "Säule" auf dem Schachbrett vorstellt?

(b) wenn man sie gleichmäßig auf der gesamten Landoberfläche der Erde verteilte? (Die Landoberfläche der Erde beträgt etwa 148 950 000 Quadratkilometer).

Aufgabe 1.6: Bestimme das durchschnittliche Gewicht eines Reiskorns (indem du zum Beispiel 100 oder 500 Reiskörner wiegst). Ermittle das Gewicht aller Reiskör- ner auf dem Schachbrett.

1.4 Super-Befehle / Prozeduren

Im Direktbetrieb haben wir Logo-Befehle hintereinander eingegeben. Logo verar- beitet jeden einzelnen Befehl und meidet sich dann wieder mit dem Bereitschafts- zeichen. Hierzu noch ein Beispiel aus dem Graphik-Bereich, Durch die folgenden Befehle wird ein kleines Dreieck, der "Igel", auf dem Bildschirm herumkom- mandiert. Im englischen Logo heißt der Igel "turtle”, also Schildkröte. Auf seinem Weg zieht der Igel eine Spur hinter sich her. Gib zunächst den Grundbefehl BILD ein. Dadurch wird der Bildschirm in den Graphik-Betriebsmodus versetzt.

VORWAERTS 60 RECHTS 120 VORWAERTS 60 RECHTS 120 VORWAERTS 60 RECHTS 120

Am Bildschirm sollte jetzt die folgende Figur zu sehen sein:

Bild 1.1: Dreieck

Aufgabe 1.7: Die Winkel beim Dreieck betragen doch 60 Grad. Warum muß sich der Igel in dem obigen Beispiel dann um 120 Grad drehen? Verfolge die einzelnen Schritte des Igels ganz genau!

Es ist allerdings etwas umständlich, wenn wir zum Zeichnen eines Dreicks jedesmal diese sechs Befehle eingeben müssen. Vielleicht kennt Logo aber auch einen Befehl DREIECK, mit dem wir das Dreieck "auf einen Schlag" zeichnen können? Pro- bieren wir es doch einfach aus:

DREIECK

Anstatt das gewünschte Dreieck zu zeichnen, bringt Logo jedoch nur eine Fehler- meldung:

ES GIBT KEINE PROZEDUR ---- DREIECK

Logo kennt also offenbar den Befehl DREIECK nicht, aber wir brauchen deswegen die Flinte nicht ins Korn zu werfen. Die wichtigste Eigenschaft jeder "vernünftigen" Programmiersprache ist, daß man ganze Befehlsketten, wie etwa die obige, zu einem neuen Superbefehl zusammenfassen kann. Da Logo den Befehl DREIECK nicht kennt, muß es ihn also lernen. Gib folgendes ein:

LERNE DREIECK

Logo schaltet nun in den sogenannten Editiermodus (kurz: Editor) um und stellt oben am Bildschirm die Zeile

PR DREIECK

dar. Der Editor ist eine Art Logo-Konzeptpapier, das es uns erlaubt, Befehlsfolgen auf Vorrat aufzuschreiben; etwa so!

PR DREIECK VORWAERTS 60 RECHTS 120 VORWAERTS 60 RECHTS 120 VORWAERTS 60 RECHTS 120 ENDE

Man schreibt diesen Text einfach wie mit einer Schreibmaschine; nur eben nicht auf Papier, sondern am Bildschirm. Wenn man sich vertippt hat, ist das nicht weiter schlimm. Man verschiebt dann einfach den Blinker mit Hilfe der Blinkerbewe- gungstasten bis unmittelbar rechts neben das falsche Zeichen. Die Blinkerbewe- gungstasten sind die mit CRSR versehenen Doppelpfeiltasten rechts unten (CRSR steht für cursor, das englische Wort für Blinker). Man löscht das Zeichen links vom Blinker, indem man die DEL-Taste tippt (DEL steht für delete, das englische Wort für löschen). Danach tippt man das richtige Zeichen ein. Natürlich geht das ent- sprechend auch mit ganzen Wörtern an Stelle von einzelnen Zeichen. Der Logo- Editor bietet noch viel mehr Möglichkeiten. Einige davon werden wir in Abschnitt 1.5 kennenlernen. Eine vollständige Übersicht über alle Editier-Befehle findest du im Logo-Handbuch. Fürs erste reicht die eben beschriebene Methode völlig aus.

Der Ausstieg aus dem Editor erfolgt mit Hilfe der RUN/STOP-Taste oder durch den Befehl Control-C ("Control"-Taste CTRL und Taste C gleichzeitig betätigen). Logo bringt die Meldung DREIECK GELERNT, und wir sind wieder im Direktbe- trieb.

Probieren wir es aus: Auf den Befehl DREIECK zeichnet der Igel jetzt die ge- wünschte Figur.

DREIECK stellt einen neuen Super-Befehl dar, den wir uns selbst geschaffen haben. Solche Befehle nennt man auch Prozeduren. Die Buchstaben "PR" vor DREIECK stehen für Prozedur (englisch: procedure). Im Direktbetrieb arbeitet Logo die eingegebenen Befehle der Reihe nach ab. Wenn der Befehl ein Grundbefehl (englisch: primitive) ist, führt Logo ihn einfach aus; wenn es ein Prozedurname ist,

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legt Logo eine kleine "Ehrenrunde" ein, in der es die einzelnen Schritte der Prozedur abarbeitet. Wir können uns das etwa so vorstellen:

(Direktbetrieb) 22 * 3 ERGEBNIS: 6 TQOW 6.25

ERGEBNIS: 2,5

DREIECK m ne nn De em.

ne | VORWAERTS 60 | RECHTS 120 ?DZ 3%*4 VORWAERTS 60 12 RECHTS 120 ?<Blinker> | VORWAERTS 60

RECHTS 120

| |

erg (Direktbetrieb)

Bild 1.2: Prozeduraufruf im Direktbetrieb

Aufgabe 1.8: Schreibe nach dem obigen Muster Prozeduren zum Zeichnen von

(a) Quadraten,

(b) Fünfecken,

(c) Sechsecken. Da bei jedem dieser Vielecke die Seiten und die Winkel gleichgroß sind, nennt man sie regelmäßige Vielecke.

Wir können unseren neuen Super-Befehl selbst wieder in neue "Super-Super-Be- fehle" einbauen. Die folgende Figur enthält drei Dreiecke als Bestandteile. Da sie wie ein Propeller aussieht, geben wir der Prozedur, mit der wir sie zeichnen, diesen Namen:

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PR PROPELLER

DREIECK RECHTS 120 DREIECK RECHTS 120 DREIECK RECHTS 120 ENDE I Mn % wu Ä „er | er <a F AT i ei u Fa j Be i a

Bild 1.3: Propeller

1.5 Wie man Prozeduren abändert (Hinweise zum Logo-Editor)

Nach einer Weile möchten wir Dreiecke, Vielecke, Propeller und sonstige Figuren in verschiedenen Größen zeichnen. Auch dies ist möglich. Wir müssen den Proze- duren dann einen Eingabewert ("Eingabeparameter") beifügen. Wenn wir bestimmte Prozeduren, wie etwa DREIECK, schon geschrieben haben, wäre es sehr umständ- lich, sie bei einer Änderung noch einmal vollständig neu einzutippen. Wir "editieren" lieber die alte Version; zum Beispiel so:

EDIT DREIECK Logo schaltet den Editier-Bildschirm ein. Wir sehen das folgende Bild:

PR DREIECK VORWAERTS 60 RECHTS 120 VORWAERTS 60 RECHTS 120 VORWAERTS 60 RECHTS 120

ENDE

Der Blinker steht auf dem "P" von PR.

Aufgabe 1.9: Ändere die Prozedur nun folgendermaßen ab;

(1) DBewege den Blinker mit der Rechtspfeil-Taste bis rechts neben das Wort DREIECK.

(2) Tippe einmal auf die Leertaste und gib danach das Wort :SEITE ein. Der Doppelpunkt unmittelbar vor SEITE ist wichtig. (Die Bedeutung des Doppelpunkts wird später noch genauer erläutert).

(3) Bewege den Blinker mit den Blinkerbewegungstasten bis unmittelbar rechts ne- ben die Zahl 60 in der zweiten Zeile.

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(4) Tippe zweimal die Löschtaste DEL.

(5) Gib die Zeichen :SEITE ein.

(6) Bewege den Blinker bis unmittelbar rechts neben die Zahl 60 in der vierten Zeile.

(7) Ersetze die Zahl 60 durch die Zeichenfolge :SEITE wie in Schritt 4 und 5. (8) Ersetze schließlich die Zahl 60 in der sechsten Zeile durch die Zeichenfolge ‘SEITE wie in Schritt 6 und 7. Der Bildschirm sollte jetzt so aussehen:

PR DREIECK :SEITE VORWAERTS :SEITE

RECHTS 120

VORWAERTS :5EITE

RECHTS 120

VORWAERTS :SEITE<Blinker> RECHTS 120

ENDE

(9) Betätige jetzt die RUN/STOP-Taste.

Logo verläßt den Editor und meldet sich mit den Worten DREIECK GELERNT. Durch diese zweite Fassung der Prozedur DREIECK wurde die erste Version über- schrieben. Die erste Fassung existiert nun nicht mehr. Wenn man dies hätte ver- hindern wollen, hätte man der neuen Version beim Editieren auch einen neuen Na- men geben müssen; zum Beispiel DREIECK.VERSION.2 oder DREIECK.V2 oder DREIECK.NEU usw. Diese neuen Namen zeigen, daß man auch den Punkt ın Prozedurnamen verwenden darf. Das dient der besseren Lesbarkeit. Auch andere Sonderzeichen, wie zum Beispiel das Fragezeichen, werden wir in Prozedurnamen einbauen. Man sollte aber bei der Verwendung von Sonderzeichen ın Prozedur- namen vorsichtig sein und keinerlei Klammern oder Anführungszeichen in Proze- durnamen einfügen. Das Leerzeichen (englich: blank oder space) hat in Logo eine besondere Bedeutung: Jeder Name, jedes Wort, jede Zeichenkette wird durch das Leerzeichen beendet.

Probieren wir jetzt unsere neue Dreiecks-Prozedur aus. Zunächst geben wir BILD ein, dann:

DREIECK Logo meldet sich mit: DREIECK WILL MEHR DATEN.

Sehr sinnvoll! Denn wir wollten ja die Seitenlänge veränderlich ("variabel") machen. Also müssen wir jetzt auch einen Wert für die Seitenlänge eingeben:

DREIECK 80

Jetzt zeichnet Logo die Figur von Bild 1.l, nur etwas vergrößert. Experimentieren wir weiter:

DREIECK 100 DREIECK 120 DREIECK 60 DREIECK 40 DREIECK 20

Man kann sich dabei das Leben erleichtern, indem man nach DREIECK 80 nur Control-P eingibt (Tastenkombination CTRL-P), den alten Eingabewert mit der

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DEL-Taste löscht, den neuen Eingabewert eingibt und die <RETURN>-Taste drückt. Das Kommando Control-P wiederholt stets die letzte Eingabe des Direkt- betriebs.

Diese Aufrufe der Prozedur DREIECK liefern uns die folgende Figur:

Aus vaaze auyEaner are „ ' ; f fi N

n} / u N

/

il ) I

Kr. im f N 2

Bild 1.4: Dreiecke

de Pr

Aufgabe 1.10: Du hast dich vielleicht gewundert, daß in der Prozedur DREIECK dreimal RECHTS 120 geschrieben wurde. Denn das Dreieck war ja schon nach dem dritten VORWAERTS-Befehl fertig.

(a) Entferne probehalber den Befehl RECHTS 120 in Zeile 7 und experimentiere mit der veränderten Prozedur. Gib im Direktbetrieb auch die Befehlsfolge ein, die zu Bild 1.4 geführt hat, und beobachte das jetzige Ergebnis.

(b) Korrigiere jetzt die Dreiecks-Prozedur wieder.

Merke: Wenn man geschlossene "Igel"-Figuren zeichnet, ist es meist sinnvoll, den Igel zum Schluß wieder in die Ausgangsrichtung zu bringen.

An dieser Stelle sind noch einige Bemerkungen zum Logo-Editor angebracht:

(1) Wie wir im obigen Beispiel gesehen haben, wurden außer der ersten und der letzten Zeile alle Zeilen um ein Zeichen nach rechts eingerückt. Dadurch werden die Prozeduren besser lesbar. Wir werden sie deshalb im folgenden immer gleich so eintippen. Wenn man die Prozedur DREIECK im Direktbetrieb nur ansehen will, ohne sie zu verändern, kann man sie sich mit dem Befehl ZEIGE DREIECK aus- drucken lassen. Auch bei diesem Ausdrucken werden alle Zeilen außer der ersten und der letzten eingerückt. Mit Hilfe des ZEIGE-Befehls kann man Prozeduren auch auf einem Drucker ausdrucken.

(2) Zur Erläuterung von Prozeduren ist es manchmal günstig, wenn man auf Zei- lennummern verweisen kann. Das Commodore-Logo hat zwar keine Zeilennum- mern, im folgenden werden wir aber gelegentlich Zeilennummern vor die einzelnen Prozedurzeilen einfügen, falls es die Beschreibung der Prozedur erleichtert. Die Prozedur DREIECK würde dann zum Beispiel so aussehen:

1: PR DREIECK :SEITE 23 VORWAERTS :SEITE 3: RECHTS 120

4: VORWAERTS :SEITE 5: RECHTS 120

6: VORWAERTS :SEITE 75 RECHTS 120

8: ENDE

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Beachte aber, daß die Zeilennummern nur der leichteren Beschreibung dienen und nicht zur Prozedur selbst gehören, also auch nicht eingetippt werden dürfen.

Wir werden auch nicht immer Zeilennummern verwenden, sondern nur dann, wenn es zur Beschreibung der Prozeduren hilfreich ist.

(3) Der besserer Lesbarkeit halber werden bei der Wiedergabe von Prozeduren in diesem Buch gelegentlich noch einige zusätzliche Leerzeichen eingefügt. Dies ist erundsätzlich unschädlich und kann auch genau so eingetippt werden. Allerdings schiebt Logo die Mehrfach-Leerstellen später eigenmächtig zu einer Leerstelle zu- sammen.

(4) Man kann auch mehrere Prozeduren "auf einen Schlag" editieren, indem man sie in eckige Klammern schreibt; zum Beispiel so:

EDIT [ DREIECK PROPELLER FUENFECK SECHSECK ]

Auch dieser lange Editier-Befehl läßt sich wieder in Kurzform als Prozedur schreiben: zum Beispiel so:

PR EDPG1 EDIT L[ DREIECK PROPELLER FUENFECK SECHSECK ] ENDE

EDPGI1 könnte zum Beispiel "Editiere Prozedur-Gruppe 1" bedeuten. Mit dem Be- fehl EDPGI1 können wir jetzt die vier Prozeduren in der eckigen Klammer leicht editieren.

Wir können nun auch die Prozedur PROPELLER mit einer variablen Seitenlänge versehen; etwa so:

PR PROPELLER :5 DREIECK :S5 RECHTS 120 DREIECK :;:5 RECHTS 120 DREIECK :S5 RECHTS 120

ENDE

Dieses Beispiel zeigt, daß beim Aufruf der Prozedur DREIECK nicht unbedingt der Variablenname SEITE verwendet werden muß. Es muß nur irgendein Eingabewert an DREIECK geliefert werden; im obigen Fall wird zum Beispiel beim Aufruf PROPELLER 50 die Variable S mit dem Wert 50 belegt, und in der der zweiten Zeile wird dann der Befehl DREIECK 50 ausgeführt.

Aufgabe 1.11: Ändere deine Prozeduren QUADRAT, FUENFECK, SECHSECK so ab, daß auch sıe mit einem Eıingabeparameter versehen werden.

1.6 Wie man Prozeduren verlassen kann

Die Bearbeitung der Prozedur DREIECK ist beendet, wenn alle Befehlszeilen dieser Prozedur abgearbeitet sind (vergleiche Bild 1.2). In manchen Fällen ist es jedoch notwendig, eine Prozedur zu verlassen, bevor alle ihre Befehle abgearbeitet sind. Dies ist mit Hilfe des RUECKKEHR-Befehls (kurz: RK) möglich, der nun erläutert werden soll.

Beispiel: Adam und Eva spielen ein Glücksspiel. Sie werfen mit drei Münzen: ei- nem Pfennigstück, einem Fünf-Pfennigstück und einem Zehn-Pfennigstück. Jede der Münzen kann nach dem Wurf Wappen (W) oder Zahl (Z) zeigen. Wenn bei ei- nem Dreierwurf die Wappen überwiegen, gewinnt Adam, sonst Eva,

Die folgende Prozedur druckt in Abhängigkeit von der Eingabe den Gewinner aus,

1: PR DRUCKE.SPIELAUSGANG :X

2: WENN :X = "WWW DANN DZ [ ADAM GEWINNT ] RUECKKEHR 3: WENN :X = "WWZ DANN DZ [ ADAM GEWINNT ] RUECKKEHR A: WENN :X = "WZW DANN DZ [ ADAM GEWINNT ] RUECKKEHR 5: WENN :X = "ZwWW DANN DZ [ ADAM GEWINNT ] RUECKKEHR 6: DZ [ EVA GEWINNT ]

7: ENDE

Einige Aufrufe:

DRUCKE.SPIELAUSGANG "ZWW ADAM GEWINNT

DRUCKE.SPIELAUSGANG "ZWZ EVA GEWINNT

Erläuterungen zur Prozedur DRUCKE.SPIELAUSGANG: Im Gegensatz zur Prozeur DREIECK :SEITE ist die Eingabe bei DRUCKE.SPIELAUSGANG keine Zahl, sondern eine (aus drei Zeichen bestehende) Zeichenkette oder, wie man in Logo sagt, ein (dreistelliges) Wort. Wenn wir Logo im Direktbetrieb oder in einer Proze- dur zeigen wollen, daß eine Zeichenkette als Wort (und nicht als Prozedurname) aufgefaßt werden soll, müssen wir ihr ein Anführungszeichen (englisch: quote) voranstellen. Im Gegensatz zu anderen Programmiersprachen steht das An- führungszeichen nur vor, nicht aber hinter dem Wort. Das Ende jedes Wortes ist durch das Leerzeichen gegeben. Das Anführungszeichen selbst gehört nicht zum Wort; es soll Logo nur darauf aufmerksam machen, daß jetzt ein Wort kommt. Wenn vor einer Zeichenkette ein Anführungszeichen steht, sagt man auch, die Zei- chenkette sei gequotet. Eine kurze und treffende deutsche Ausdrucksweise ist mir dafür nicht bekannt.

Das in "WENN ... DANN ... " - Bedingungen auftretende Grundwort DANN ist an sich entbehrlich. An Stelle von Zeile 2 hätte man oben zum Beispiel auch schreiben können:

WENN :X = "WWW DZ [ ADAM GEWINNT ] RUECKKEHR

DZ ist eine Kurzform für den Logo-Grundbefehl DRUCKEZEILE. In Abschnitt 1.8 werden verschiedene Versionen des Druckbefehls besprochen,

Nun zum RUECKKEHR-Befehl. Wenn Logo in einer Prozedur auf diesen Befehl trifft, verläßt es die Prozedur und macht unmittelbar hinter der Stelle weiter, von

17

wo aus die Prozedur aufgerufen wurde. Dies kann der Direktbetrieb oder eine an- dere Prozedur sein. Nehmen wir einmal an, die Prozedur DRUCKE.SPIELAUS- GANG wurde im Direktbetrieb mit dem Eingabewert WZW aufgerufen. Dann kön- nen wir uns dies ähnlich wie in Bild 1.2 folgendermaßen veranschaulichen.

(Direktbetrieb)

|

DRUCKE.SPIELAUSGANG "WZW — 0 WENN :X > !wWW —— WENN :X = !"WWZ ... WENN :X = "WZW ...

ADAM GEWINNT —

|

u.

(Direktbetrieb)

Bild 1.5: Das Verlassen von Prozeduren

Aufgabe 1.12: Entferne die RUECKKEHR-Befehle aus der Prozedur DRUCKE.- SPIELAUSGANG und rufe die Prozedur mit verschiedenen Eingabewerten auf. Beachte genau, was passiert. Korrigiere die Prozedur wieder, wenn du mit dem Ex- perimentieren fertig bist.

1.7 Zeichketten und Wörter

In der Prozedur DRUCKE.SPIELAUSGANG haben wir erste Beispiele für Zeichen- ketten (Wörter) kennengelernt. Wir wollen das Arbeiten mit Wörtern hier noch et- was vertiefen. Probiere folgendes im Direktbetrieb aus:

VL ES GIBT KEINE PROZEDUR ---- XYZ

"RLZ ERGEBNIS: XYzZ (dreistelliges Wort)

iz ERGEENIS XYZ" (vierstelliges Wort; das hinter XYZ stehende Anführungs-

zeichen ist Bestandteil des Wortes)

DRUCKE.SPIELAUSGANG WZZ ES GIBT KEINE PROÖZEDUR ---- WZZ

Da die Zeichenkette WZZ nicht gequotet war und auch keinen Logo-Grundbefehl darstellt, versuchte Logo, sie als den Namen einer Prozedur zu interpretieren. Aber

es war auch keine Prozedur unter dem Namen WZZ definiert.

lermeldung.

Daher also die Feh-

Merke: Logo versucht, jede Eingabe als Grundbefehl oder als Prozedurnamen zu interpretieren und entsprechend auszuführen. Gequotete Eingaben werden dagegen

als Zeichenketten (Wörter) registriert und unverändert zurückgegeben.

Jedes Wort (jede Zeichenkette) wird durch das Leerzeichen beendet.

Logo verfügt über eine Reihe von Grundbefehlen, um Wörter zu verarbeiten. Hier

einige Beispiele für die wichtigsten davon.

ERSTES "XYZ (kurz: ER "RYZ ) ERGEBNIS: X

OHNEERSTES "XYZ (kur: OE. "ETZ:)) ERGEBNIS: YZ

LETZTES "XERXES (kurz: LZ "XERXES ) ERGEBNIS: 5

OHNELETZTES "XERXES (kurz: OL "XERXES )

ERGEBNIS: XERXE

Mit Hilfe des Logo-Grundbefehls WORT lassen sich zwei Zeichenketten zu einer

einzigen Kette zusammenfassen.

WORT "SCHNABEL "TIER ERGEBNIS: SCHNABELTIER

Logo kennt auch "Zahlwörter":

OHNELETZTES "7410 ERGEBNIS: 74]

Man kann die Befehle auch miteinander kombinieren:

ERSTES OHNEERSTES "XAVER ERGEBNIS: A

WORT ERSTES "LUENEBURG LETZTES "LUENEBURG

ERGEBNIS: LG Die Auswertung des letzten Aufrufs erfolgt so:

ERSTES "LUENEBURG ergibt L LETZTES "LUENEBURG ergibt G

Diese beiden Zeichen werden vom Grundbefehl WORT zu der Zeichenkette LG zu-

sammengefügt.

1.83 Druckbefehle

Logo kennt verschiedene Formen des Druckbefehls. Probiere folgendes aus:

DRUCKE 4*7 (kurz DR 4*7) 28?<Blinker>

DRUCKEZEILE 4 # 7 (kurz: DZ 4*7) 28

?<Blinker>

Nach dem DRUCKE-Befehl kommt unmittelbar das Logo-Bereitschaftszeichen (Fragezeichen) und der Blinker, Der Befehl DRUCKEZEILE (kurz DZ) bewirkt, daß nach dem Ausdruck der Daten ein Zeilenvorschub und Wagenrücklauf (englisch: linefeed und carriage return) eingeschoben wird. Im folgenden werden, außer in seltenen Ausnahmefällen, das Bereitschaftszeichen und der Blinker nicht mehr dar- gestellt.

Man kann auch mehrere Dinge mit einem Druck-Befehl ausdrucken. Damit Logo weiß, wann Schluß ist, muß man dann allerdings den gesamten Druckbefehl in runde Klammern einschachteln. Ein Beispiel:

( DRUCKEZEILE "12 "+ "987 "= 124987 ) 12 + 987 = 999

Der letzte DRUCKEZEILE-Befehl hatte fünf Eingaben: das zweistellige Wort 12, das einstellige Wort +, das dreistellige Wort 987, das einstellige Wort = und den Rechenausdruck 12+987. Die Anführungszeichen gehörten nicht zu den Wörtern selbst; sie sollten Logo nur andeuten, daß es sich bei dem, was folgte, um Wörter handelte.

Beim DRUCKEZEILE-Befehl druckt Logo eine Leerstelle hinter jede einzelne Aus- gabe; beim DRUCKE-Befehl läßt Logo dagegen keine Lücken. Noch ein Beispiel zum Kontrast:

( DRUCKE "12 "+ "1987 "= 124987 ) 12+987=999

Falls man, wie in der Prozedur DRUCKE.SPIELAUSGANG, mehrere Wörter aus- drucken und der besseren Lesbarkeit halber auf die Anführungszeichen verzichten will, dann kann man diese Wörter auch in eckige Klammern schreiben. Der gesamte Inhalt der eckigen Klammern (einschließlich der Klammern selbst) wird dann als eine einzige Eingabe zu dem Druckbefehl gewertet. Deshalb braucht man dann auch keine runden Klammern. Ein Beispiel:

DRUCKEZEILE [ EIN MOPS KAM IN DIE KUECHE ] EIN MOPS KAM IN DIE KUECHE

Merke: Logo läßt bei Druckbefehlen die äußersten eckigen Klammern weg. Vergleiche aber hiermit:

DRUCKEZEILE [ GESCHACHTELTE [[ ECKIGE ] KLAMMERN ]] GESCHACHTELTE [[ ECKIGE ] KLAMMERN ]

20

1.9 Funktionen

Eine bestimmte Art von Prozeduren ist in Logo besonders wichtig. Man nennt sie Funktionen. Zwischen Logo-Funktionen und mathematischen Funktionen (Zuord- nungen) gibt es der Sache nach praktisch keinen Unterschied; sıe unterscheiden sich nur geringfügig in der Schreibweise.

Eine Funktion, die in der Mathematik eine große Rolle spielt, ist die Quadratwur- zel-Funktion. Man beschreibt sie meist folgendermaßen mit Hilfe des "Wurzel - Zeichens:

A —— VA

In Worten ausgedrückt, wird diese Zeile meist so gelesen: "x wird auf Wurzel x ab- gebildet" oder "der Zahl x wird die Wurzel von x als Funktionswert zugeordnet".

Die Quadratwurzel-Funktion gibt es auch in Logo. Sie heißt einfach QW (für Qua- dratwurzel). Wenn man die Quadratwurzel der Zahl 6.25 bestimmen möchte, gibt man einfach

QW 6.25

ein, und Logo antwortet mit

ERGEBNIS: 2.5

Manche Funktionen besitzen gar keinen eigenen Namen, sondern sie werden einfach als Rechenausdruck hingeschrieben; zum Beispiel die folgende "Funktion":

“i— |ı/x

Gelegentlich möchte man aber auch solche "anonymen" Funktionen mit einem richti- gen Namen versehen, um sie besser ansprechen zu können. Wir könnten der Funk- tion aus dem letzten Beispiel etwa den Namen EINSDURCH geben. In der Mathe- matik ist jedoch der Name INVERS gebräuchlicher:

x — INVERS() (mit INVERS(x)=1/x) Man kann sich eine Funktion wie eine Maschine vorstellen: die Funktion wird mit einer "Eingabe" gefüttert, sie verarbeitet diese Eingabe entsprechend der Funk-

tionsvorschrift und gibt das Ergebnis zum Schluß als Funktionswert aus. Die fol- genden schematischen Darstellungen sollen dies veranschaulichen:

2]

8 — INVERS —> 0,1325

ı- — — 1m

Bild 1.6: Funktionen als Maschinen

Funktionen sind deshalb so wichtig, weil man sie hervorragend verketten, d.h. an- einanderhängen, kann. Man macht dabei die Ausgabe der ersten Funktion einfach zur Eingabe der zweiten Funktion; im Schema:

F2 —

Bild 1.7: Funktionsverkettung

Für die Funktionsverkettung gibt es verschiedene Schreibweisen. In der Mathematik schreibt man die Verkettung der Funktion f mit der Funktion g meist folgen- dermaßen:

—JnerK— sun

Ist zum Beispiel f die Funktion QW und g die Funktion INVERS, so könnte ein Yerkettungsbeispiel (mit Näherungwerten) etwa lauten:

2 — |INVERS o OQW| —> INVERS(OW(2)) INVERS(1.41421) Im Bild:

Na — 1m — > 070m08

Bild 1.8: Verkettungsbeispiel

0.707108

22

Aufgabe 1.13: (a) Begründe, warum INVERS(QW(x)) und QW(INVERS(x)) für jede positive Zahl x übereinstimmen. Man sagt, die Funktionen INVERS und QW sind bei der Verkettung vertauschbar.

(b) Überprüfe anhand einiger Zahlenwerte, ob dies beim Arbeiten mit dem Ta- schenrechner bzw, Computer auch so ist.

(c) Gib zwei Funktionen an, die in bezug auf die Verkettung nicht vertauschbar sind.

Logo unterstützt das Programmieren mit Funktionen wie kaum eine andere Pro- grammiersprache. Dazu gehört zum Beispiel, daß man bei der Ein- und Ausgabe nicht etwa nur auf Zahlenwerte beschränkt ist. Logo-Funktionen können auch Wörter und zusammengesetzte Daten verarbeiten. Die in Abschnitt 1.7 behandelten Logo-Grundbefehle ERSTES, OHNEERSTES, LETZTES, OHNELETZTES und WORT sind zum Beispiel Logo-Funktionen zur Verarbeitung von Wörtern. Hier noch als Beispiel eine Dreifach-Verkettung:

OHNELETZTES OHNELETZTES OHNELETZTES "TRIER ERGEBNIS: TR

In schematischer Darstellung sieht der letzte Aufruf (mit der Abkürzung OL für OHNELETZTES) folgendermaßen aus:

TRIER — — TRIE — | OL — TRI— oL (TR

Bild 1.9: Dreifach-Verkettung

Aufgabe 1.14: Zu welchem Ergebnis führt der folgende Aufruf: WORT ERSTES "TRIER LETZTES "TRIER

Weiterhin gehört zu einem umfassenden Funktionskonzept natürlich auch die Mög- lichkeit, daß man sich seine eigenen Funktionen selbst schreiben kann. Dies soll im folgenden an einigen weiteren Beispielen erläutert werden.

Beispiel: In vielen Zusammenhängen benötigt man den Absolutbetrag einer Zahl. Wenn die Zahl positiv oder gleich Null ist, dann unterscheidet sie sich nicht von ihrem Absolutbetrag; wenn sie negativ ist, erhält man ihrem Absolutbetrag, indem man sie mit -1 multipliziert.

Die Prozedur, in der dieser Absolutbetrag ermittelt wird, soll ABS heißen. Da wir verschiedene Versionen betrachten werden, hängen wir an den Namen jeweils eine Versionsnummer V1, V2, ... an. Hier eine erste Version, an der zunächst einmal gezeigt wird, wie man es nicht machen soll:

PR ABS.V1 :X WENN :X < O0 DANN DRUCKEZEILE -:X SONST DRUCKEZEILE :X ENDE

Einige Aufruf-Beispiele:

ABS.VI -4.7 4.7 ABS.VI 8.5 8.5

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Diese Version von ABS liefert zwar den jeweils gefragten Absolutbetrag, man kann sie aber nicht mit anderen Funktionen verketten. Beim Aufruf QW ABS.VI -5 druckt Logo zunächst die Zahl 5 aus und bringt dann die Fehlermeldung ABS.V1 KEINE RUECKGABE,

Der Fehler bei der Prozedur ABS.V1 besteht darin, daß sie zwar den richtigen Wert ermittelt, ihn dann aber nur ausdruckt und nicht weiterleitet. ABS.V1 ist zwar eine Prozedur, aber keine Funktion.

-5.— | aBs.vı a ??? —Jmuf

(Ausdruck)

Bild 1.10: fehlende Funktionsverkettung

Die Weiterleitung von Funktionswerten erfolgt in Logo mit Hilfe des RUECK- GABE-Befehls. Die Kurzform für RUECKGABE lautet RG. Hier ist eine Version von ABS, bei der der ermittelte Funktionswert richtig weitergeleitet wird:

PR ABS.V2 :X WENN :X < O0 DANN RUECKGABE -:X SONST RUECKGABE :X ENDE

ABS.V2 3.25 ERGEBNIS: 3.25

ABS.V2 -4.75 ERGEBNIS: 4,75

QW ABS.V2 -5 ERGEBNIS: 2.23606

Die Version ABS.V2 leitet ihre Werte ordentlich (mit Hilfe des RUECKGABE-Be- fehls) weiter; in schematischer Darstellung:

-5 — —) — —> 2.23606

Bild 1.11: richtige Funktionsverkettung

Ein entscheidendes Merkmal des RUECKGABE Befehls ist, daß er, ähnlich wie der RUECKKEHR-Befehl, das Verlassen der gerade durchlaufenen Prozedur bewirkt. Deshalb kann eine zur zweiten Version gleichwertige Version auch so geschrieben werden:

PR ABS.V3 :X

WENN :X < 0 DANN RUECKGABE -:X RUECKGABE :X

ENDE

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Im Kontrast hierzu würde die folgende "Druck"-Version zu unerwünschten Ergeb- nisse führen (denn der DRUCKEZEILE-Befehl hat nicht zur Folge, daß die Proze- dur verlassen wird). Auch ABS.V4 ist keine Funktion.

PR ABS.V4 X WENN :X < 0 DANN DRUCKEZEILE -:!:X

DRUCKEZEILE :X ENDE

ABS.V4 5

ABS.V4 -17

Aufgabe 1.15: Korrigiere die Version ABS.V4 durch Hinzufügen eines einzigen Grundwortes so, daß das im letzten Beispiel dokumentierte Mißgeschick vermieden wird. (Hinweis: das Grundwort SONST ist nicht gemeint).

Aufgabe 1.16: Die Version ABS.V3 paßt sehr gut mit den Grundprinzipien von Logo zusammen. Wir wollen sie in Zukunft benutzen. Ändere sie im Editor ab, so daß ihr Name nur noch ABS ist.

Aufgabe 1.17: Zeichne (von Hand) das Funktionsschaubild der Funktion ABS.

Funktionen können beliebig viele Eingaben haben. Hier eine Funktion mit zwei Eingaben:

PR ABSTAND :X +Y

RUECKGABE ABS ( :ıY - :X ) ENDE

Das Ergebnis dieser Funktion ist immer positiv.

ABSTAND 2 5 ERGEBNIS: 3

ABSTAND 5 2 ERGEBNIS: 3

Beachte folgendes Beispiel:

ABSTAND 5 -8<RETURN> Logo antwortet: ABSTAND WILL MEHR DATEN

Logo hat zuerst den Rechenausdruck 5 -8 (= -3) ausgewertet. Damit fehlte dann der zweite Eingabewert. Um dies zu verhindern, hätte man die Eingabewerte (mit runden Klammern) einklammern müssen. Es genügt auch, den mit dem Minus- zeichen versehenen Eingabewert einzuklammern:

ABSTAND 5 (-8) ERGEBNIS: 13

Die folgende Funktion verdoppelt ihren Eingabewert:

25

PR VERDOPPLUNG :X RUECKGABE 2 # :X ENDE

VERDOPPLUNG 5 ERGEBNIS: 10

VERDOPPLUNG 2.15 ERGEBNIS: 4.3

Wir können die neuen Befehle auch mit den Befehlen des Logo-Grundwortschatzes verknüpfen:

2 + VERDOPPLUNG 3 ERGEBNIS: 8

QW VERDOPPLUNG 8 ERGEBNIS: 4

Was der Quadratwurzelfunktion recht ist, ist der Verdopplungs-Funktion billig:

VERDOPPLUNG VERDOPPLUNG 3 ERGEBNIS: 12

VERDOPPLUNG VERDOPPLUNG VERDOPPLUNG VERDOPPLUNG 2 ERGEBNIS: 32

Die folgende Funktion gibt das Volumen eines Würfels von einer bestimmten Kan- tenlänge als Funktionswert zurück.

PR WUERFELVOLUMEN :KANTE RUECKGABE :KANTE * :KANTE * :KANTE ENDE

Ein Beispiel:

WUERFELVOLUMEN 3 ERGEBNIS: 27

Wir können die Funktionen VERDOPPLUNG und WUERFELVOLUMEN beliebig miteinander kombinieren:

WUERFELVOLUMEN VERDOPPLUNG 5 ERGEBNIS: 1000

VERDOPPLUNG WUERFELVOLUMEN 5 ERGEBNIS: 250

Diese Ergebnisse kommen folgendermaßen zustande: Im ersten Beispiel ergibt VERDOPPLUNG 5 den Wert 10, und dieser Wert wird als Eingabewert in die Funktion WUERFELVOLUMEN eingespeist; WUERFELVOLUMEN 10 ergibt dann 1000.

Dagegen ergibt WUERFELVOLUMEN 5 im zweiten Beispiel zunächst 125. Dieser

Wert wird als Eingabewert in die Funktion VERDOPPLUNG eingespeist. Als Er- gebnis erhalten wir 250.

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Bildlich können wir uns diese Auswertungsvorgänge folgendermaßen vorstellen:

Erstes Beispiel:

5 — |VERDOPPLUNG| — 10 —> | WUERFELVOLUMEN | —> 1000

Zweites Beispiel:

5 — |WUERFELVOLUMEN| — 125 —> J|VERDOPPLUNG| —> 250

Bild 1.12: nicht vertauschbare Funktionen

Aufgabe 1.18: (a) Verkette je zwei der Funktionen QW, ABS, VERDOPPLUNG und WUERFELVOLUMEN miteinander (experimentiere dabei mit verschiedenen Zahlenwerten). Stelle fest, welche der Funktionen nicht vertauschbar sind.

(b) Kann man mit Hilfe des Computers durch Probieren feststellen, welche der Funktionen vertauschbar sind?

(c) Begründe durch algebraische Umformungen, welche der obigen Funktionen ver- tauschbar sind.

Aufgabe 1.19: Schreibe Funktionen zur Verdreifachung, Vervierfachung, Verfünf- fachung der Eingabewerte,

Aufgabe 1.20: (a) Schreibe eine Funktion PLUSI :X, die folgendes bewirkt: PLUSI 3 ERGEBNIS: 4 PLUSI 17 ERGEBNIS: 18 (b) Schreibe entsprechende Funktionen PLUS2 und PLUS3,.

Aufgabe 1.21: (a) Schreibe eine Funktion SIGNUM :X mit der folgenden Eigen- schaft:

SIGNUM :X= 1 ,falls :X > 0 ıst;

SIGNUM X = 0 ‚falls X = 0 ist;

SIGNUM X=-1l, falls :X <0 ist.

(SIGNUM heißt soviel wie "Vorzeichen"). (b) Zeichne das Funktionsschaubild der Funktion SIGNUM,

Aufgabe 1.22: Schreibe eine Funktion

ABSTAND.IN.DER.EBENE :X1 :Yl :!X2 '!Y2, die als Ausgabewert den Abstand des Punkts (:X1 / :Yl) vom Punkt (:X2 / !:Y2) im üblichen Koordinatensystem hat.

Aufgabe 1.23: Schreibe eine Funktion LINEAR :M :B !X zur Berechnung der Werte des Ausdrucks m*x +b,

Aufgabe 1.24: Schreibe eine Funktion QUADRATISCH :A :B :C :!X zur Aus- wertung des Ausdrucks a*x*x + b*x + c.

Aufgabe 1.25: Schreibe Funktionen ZWEITES, DRITTES, VORLETZTES, VOR- VORLETZTES, mit denen du die entsprechenden Zeichen aus einem Wort heraus- picken kannst; zum Beispiel:

ZWEITES "HUGO

ERGEENIS U

VORVORLETZTES "DONAU

ERGEBNIS: N

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Merke: (1) Prozeduren können verschiedene Dinge tun: Speicherplätze belegen oder löschen, Daten ausdrucken, Daten von der Diskette lesen oder auf eine Diskette schreiben, Figuren auf den Bildschirm zeichnen, den Lautsprecher des Computers zum Tönen bringen und vieles mehr. Alles dies bezeichnet man als Nebenwirkungen, die den Zustand des Computers und seiner "Peripherie"-Geräte verändern.

(2) Funktionen sind spezielle Prozeduren (so wie Quadrate spezielle Rechtecke sind). Die Hauptaufgabe einer Funktion besteht darin, ihren Funktionswert zu ermitteln und weiterzuleiten. Jede Logo-Funktion ist auch eine Logo-Prozedur, die Umkeh- rung ist aber nicht richtig. Die Logo-Funktion WUERFELVOLUMEN kann auch als Logo-Prozedur bezeichnet werden, die Logo-Prozedur DREIECK ist aber keine Logo-Funktion. Im Logo-Editor beginnen sowohl Logo-Funktionen als auch Logo- Prozeduren mit den Buchstaben PR (für Prozedur).

(3) Der RUECKGABE-Befehl bewirkt die Weiterleitung des ermittelten Funktions- wertes; und zwar an die Stelle, von der aus die Funktion aufgerufen wurde. Dies kann der Direktbetrieb oder eine andere Funktion (oder Prozedur) sein. Mit der Rückgabe des Funktionswertes wird die Funktion verlassen.

(4) Logo-Funktionen sind beliebig verkettbar. Sie entsprechen deshalb ziemlich ge- nau den Funktionen in der Mathematik.

(5) Wird eine Funktion im Direktbetrieb aufgerufen, so druckt Logo zuerst das Wort "ERGEBNIS:" und dann den Funktionswert.

(6) Druckbefehle "fressen" den Funktionswert auf; er steht dann nicht mehr zur Weiterverarbeitung zur Verfügung (siehe -ABS.VI in Bild 1.10).

(7) Funktionen spiegeln sehr genau das "EVA"-Grundprinzip der Datenverarbeitung wieder:

Eingabe —— Verarbeitung —— Ausgabe

Funktionen können mehrere Eingabewerte, aber stets nur einen ÄAusgabewert haben. Allerdings kann die Ausgabe auch ein ganzer "Sack" voller Daten sein, wie wir spä- ter im Zusammenhang mit den "Listen" sehen werden.

Dem Prinzip von "Eingabe, Verarbeitung und Ausgabe" muß jede Programmier- sprache in irgendeiner Weise Rechnung tragen. Bei Programmiersprachen, in denen man keine eigenen Prozeduren schreiben kann (BASIC ist zum Beispiel eine solche Sprache), wird die Eingabe üblicherweise mit Hilfe des INPUT-Befehls und die Ausgabe mit Hilfe des PRINT-Befehls vorgenommen. Solche Befehle gibt es in Logo natürlich auch. Das Gegenstück zu PRINT, die Druckbefehle von Logo, ha- ben wir in Abschnitt 1.8 bereits kennengelernt. Dem INPUT-Befehl von BASIC entspricht in Logo der LIESLISTE-Befehl (bzw. beim APPLE Computer der EIN- GABE-Befehl). In Kapitel 5 über Wertetafeln ist in der Prozedur WERTE- TAFEL.DIALOG ein typisches Beispiel für die Verwendung des LIESLISTE-Befehls gegeben.

In den meisten Fällen gibt es aber in Logo weit bessere Möglichkeiten, Eingabe- werte bereitzustellen; nämlich über die Eingabeparameter von Prozeduren. Wir wollen dies am Beispiel der Funktion SIGNUM (siehe Aufgabe 1.21) verdeutlichen.

Nehmen wir an, wir wollen den Wert von SIGNUM an der Stelle 6.25 bestimmen. Die natürlichste Sache von der Welt ist, SIGNUM 6.25 einzutippen und sich das Er-

28

gebnis ausgeben zu lassen. Entsprechend gehen wir ja zum Beispiel auch vor, wenn wir den Wert der Quadratwurzel-Funktion an der Stelle 6.25 ermitteln wollen. Warum sollte es bei selbstdefinierten Funktionen anders sein? Es gibt keinen Grund dafür.

In BASIC gibt es keine Möglichkeit, in selbstdefinierten Funktionen Fallunterschei- dungen einzubauen. Man könnte SIGNUM also nicht als BASIC-Funktion for- mulieren, sondern man müßte ein Programm schreiben, das mit Hilfe des Befehls RUN aufzurufen wäre. Der Dialog müßte in BASIC etwa folgendermaßen ver- laufen:

Benutzer: RUN Programm: WERTER BENUTZER; HIER MELDET SICH DAS PROGRAMM SIGNUM. WELCHE ZAHL SOLL ICH DENN VERARBEITEN: Benutzer: 6.25 Programm: ICH HABE NUN SIGNUM VON 6.25 BERECHNET. HIER IST DER WERT: +1

Das ganze ist natürlich etwas dick aufgetragen, aber in ähnlicher Weise müßte es schon ablaufen. Vielleicht scheint dir das sogar im ersten Moment Spaß zu machen. Aber überlege einmal, ob du diesen ganzen "Zauber" jedesmal mitmachen möchtest, wenn du zum Beispiel die Quadratwurzel oder den Sinus einer Zahl ausrechnen willst. Der Informationsgehalt des obigen Beispiels liegt in einem einzigen Aus- gabewert. Angesichts dieser Tatsache ist der obige "Dialog" doch ziemlich aufwen- dig.

Was aber das Schlimmste ist: das Verketten von Funktionen wird durch diesen ge- schwätzigen Dialog praktisch unmöglich gemacht.

1.10 Was ist ein Programm?

In Logo lautet die Antwort kurz und bündig: Jede Prozedur (und somit auch jede Funktion) ist ein Programm. In den meisten Programmiersprachen hat man zu einem bestimmten Zeitpunkt nur ein einziges Programm im Speicher, und um es aufzurufen, muß man "RUN" (oder etwas ähnliches) eintippen. In Logo kann man zu jedem Zeitpunkt viele Prozeduren gleichzeitig im Speicher haben, und jede Pro- zedur wird dadurch aufgerufen, daß man ihren Namen und die jeweiligen Eingabe- werte eingibt.

1.11 Der Arbeitsspeicher

Mit dem Befehl ZEIGE ALLES kann man sich zu jedem Zeitpunkt einen Überblick darüber verschaffen, was alles im Speicher ist. Mit Hilfe des Befehls ZEIGE TITEL (kurz: ZT) kann man alle bekannten Prozedurnamen auflisten. Wenn wir Logo mit Beginn dieses Kapitels geladen und seitdem nicht mehr ausgeschaltet haben, liefert ZEIGE TITEL in etwa den folgenden Ausdruck:

29

PR DREIECK :SEITE

PR PROPELLER :S5

PR DRUCKE.SPIELAUSGANG :X PR ABS.V1 :X

PR ABS,V2 X

PR ABS.V3 °:X

PR ABS.V4 ;X

PR ABSTAND :A :B

PR VERDOPPLUNG :X

PR WUERFELVOLUMEN :KANTE

Dazu kommen eventuell noch weitere selbstgeschriebene Prozeduren.

1.12 Wie man seine Arbeit dauerhaft auf einer Diskette abspeichert

Würden wir jetzt den Computer ausschalten, wären alle diese Prozeduren verloren, und wir müßten sie neu eintippen, wenn wir sie wieder benötigen.

In jeder Programmiersprache gibt es Befehle, um Programme auf einem (relativ) dauerhaften Speichermedium abzuspeichern. Beim Commodore 64 ist das die Dis- kette. Mit dem Befehl

BEWAHRE "BEISPIELE

speichern wir den gesamten Arbeitsspeicher im augenblicklichen Zustand unter dem Namen BEISPIELE auf der im Laufwerk befindlichen Diskette ab.

An Stelle des Namens BEISPIELE könnte auch jeder andere Name verwendet wer- den. Vorsicht mit Namen, unter denen sich schon eine Datei auf der Diskette be- findet! Diese Datei würde bei Verwendung desselben Namens überschrieben und dadurch gelöscht werden.

Mit dem Befehl IH (kurz für INHALT) können wir uns anschauen, was schon alles auf der Diskette abgespeichert worden ist. Wir finden die Datei, in der wir gerade unsere Prozeduren abgespeichert haben, unter dem Namen BEISPIELE.LOGO wie- der. Den Zusatz "LOGO" hat Logo selbständig angehängt. Er dient nur zur Identifizierung der verschiedenen Dateien und darf beim Laden der Dateı nicht ein- gegeben werden.

Das Laden unserer Prozeduren (zum Beispiel nach dem Ausschalten des Computers und einem neuen Start mit Logo) erfolgt mit dem Befehl

LADE "BEISPIELE Manche der obigen Prozeduren dienten nur der Demonstration, wie man es nicht machen soll. Diese Prozeduren willst du vielleicht nicht speichern. Du kannst sie

mit Hilfe des VERGISS-Befehls löschen; zum Beispiel:

VERGISS ABS.VI VERGISS ABS.V4

Aufgabe 1.26: Lösche alle weiteren überflüssigen Prozeduren und behalte genau

diejenigen im Speicher, welche auf die Diskette sollen. Speichere die verbleibenden Prozeduren unter einem sinnvollen Namen ab.

30

Kapitel 2: Grundlegende Programmiertechniken

Wir kehren noch einmal zum Schachproblem aus Kapitel I zurück. Der Berechnung der Schachbrettzahlen liegt der Vorgang des Verdoppelns zugrunde, den wir im vo- rigen Kapitel durch die Funktion VERDOPPLUNG in eine feste Form gegossen ha- ben:

PR VERDOPPLUNG :X RUECKGABE 2 *% ;X ENDE

Aufgabe 2.1: Schreibe Funktionen zur Vervierfachung, Verachtfachung, Versech- zehnfachung ihrer Eingabewerte, ohne den "Malpunkt" * zu benutzen.

2.1 Variable

Gelegentlich möchte man das Ergebnis eines Logo-Aufrufes "konservieren". Man kann dies tun, indem man den Wert in einer Variablen abspeichert; etwa so:

SETZE "X VERDOPPLUNG 17 (*) Den Wert dieser Variablen kann man nun folgendermaßen abrufen:

WERT "X (**) ERGEBNIS: 34

An Stelle von WERT "X kann man auch die Kurzform :X verwenden;

IR ERGEBNIS: 34

Merke: Logo unterscheidet zwischen dem Namen und dem Wert von Variablen. Als Variablenname kann fast jede Zeichenkette vorkommen (etwa: A, B5, XYZ, HUGO, ZINSSATZ, C128, ..... Nehmen wir zum Beispiel X als Variablennamen. Dann führt der Logo-Aufruf "X stets dazu, daß uns Logo den Namen von X, also X selbst zurückgibt, während der Aufruf WERT "X beziehungsweise :X stets den Wert der Variablen des Namens X liefert.

Die Unterscheidung zwischen dem Namen und dem Wert von Variablen gibt es in kaum einer anderen Programmiersprache. Sie trägt entscheidend zur Leistungs- fähigkeit von Logo bei.

Hier noch einige Beispiele:

SEIZE "X 18 + VERDOPPLUNG 19

RN ERGEBNIS: X WERT "X ERGEBNIS: 56 X

ERGEBNIS: 56

31

Durch den folgenden Aufruf wird der Wert der Variablen X um eins erhöht;

SETZE "x ( WERT "X ) +1 (#) (bzw.: SETZE "X :X+1) (##) WERT "X (bzw. X)

ERGEBNIS: 57

Die Beispiele (*), (**), (#) und (##) kann man so lesen:

(*): Weise der Variablen mit dem Namen X den Wert des Logo- Ausdrucks VER- DOPPLUNG 17 zu.

(**): Gib den Wert der Variablen mit dem Namen X zurück.

(#) und (##): Weise der Variablen mit dem Namen X den um eins erhöhten Wert der Variablen desselben Namens zu. (Kurz: Erhöhe den Wert der Variablen mit dem Namen X um eins).

2,2 Wiederholungen

Die Funktion VERDOPPLUNG tut genau das, was sie soll: sie liefert als Ausgabe- wert das Doppelte des Eingabewertes; eine Eingabe hat eine Ausgabe zur Folge. Wenn wir die gesamte Tabelle 1.l ausgedruckt haben wollen, dann müssen wir die Verdopplungsfunktion mehrmals hintereinander aufrufen, die Ergebnisse jeweils ausdrucken und zur Weiterverarbeitung abspeichern.

Es gibt mehrere grundlegend verschiedene Möglichkeiten, um Logo-Aufrufe (oder Aufrufketten) zu wiederholen. Die wichtigsten davon sollen in diesem Kapitel am Beispiel des Problems "Schachbrett-Tabelle" behandelt werden (vergleiche Tabelle [:1),

Zunächst zum WIEDERHOLE (kurz WH) - Befehl von Logo. Wir können ihn im Direktbetrieb ausprobieren. Das, was wiederholt werden soll, muß in eckige Klam- mern geschrieben werden. Die hinter dem Grundwort WIEDERHOLE (bzw. WH) stehende Zahl gibt an, wie oft es zu wiederholen ist.

SEIZE '"W "OTTO

WA 4 [ DZ :W SEIZE 'W DEW ] OTTO

GEE

OT

OÖ

32

SETZE "X 1

WH 64 [DZ :X SETZE "X VERDOPFLUNG :X ] l

2

4

8

16

32

64

128

9.22338E18 Aufgabe 2.2: Schreibe die letzte Zahl als "richtige" Dezimalzahl.

Da es mühsam ist, längere Aufrufe immer wieder im Direktbetrieb einzutippen, schreiben wir uns einen neuen Befehl dafür. Damit die Prozedur besser lesbar wird, sind die langen Namen verwendet worden. Wir starten mit LERNE SCHACH- TABELLE (oder kurz: PR SCHACHTABELLE):

PR SCHACHTABELLE

SETZE "X 1

WIEDERHOLE 64 [ DRUCKEZEILE :X SETZE "X VERDOPPLUNG :X ] ENDE

Mit Hilfe der RUN/STOP-Taste verlassen wir den Editor, Logo meldet: SCHACH- TABELLE GELERNT. Also probieren wir es aus: der Aufruf SCHACHTABELLE führt tatsächlich zu der oben im Direktbetrieb produzierten Tabelle.

2.3 Sprünge

Wenn man das Logo Grundwort WIEDERHOLE verwendet, dann muß man schon vor Eintritt in die Wiederholungsschleife die Anzahl der Wiederholungen kennen. Dies ist zwar bei der Schachtabelle der Fall; es gibt aber auch Situationen, wo sich erst in der Schleife entscheidet, ob man mit der "Schleifenarbeit" fertig ist oder nicht. Deshalb wollen wir uns noch zwei weitere Methoden ansehen, mit denen man die Abbruchbedingung innerhalb der Schleife überprüfen kann.

In Logo ist es möglich, daß man in Prozeduren Markierungen anbrinst, zu denen man später springen kann. Hier die Schachtabelle mit Hilfe des Sprungbefehls GEHE:

1: PR SCHACHTABELLE.SPRUNG

2: SETZE "ZAEHLER 1

3: SETZE "X 1

4; MARKIERUNGLI:

>35 DRUCKEZEILE :X

6: SETZE "ZAEHLER :ZAEHLER + 1

7: SETZE "X VERDOPPLUNG :X

8: WENN :ZAEHLER > 64 DANN RUECKKEHR 9: GEHE "MARKIERUNGIl 10: ENDE

33

Erläuterungen zur Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG: Zunächst sei daran erin- nert, daß die Zeilennummern nicht zur Prozedur selbst gehören. Der lange Prozedurname ist zwar etwas umständlich zu tippen, aber er zeigt gleich, worum es geht. Zur Kontrolle darüber, mit welchem Feld wir es gerade zu tun haben, wurde ın Zeile 2 die Hilfsvariable ZAEHLER eingeführt. Die Variable X gibt die Anzahl der Körner wieder. In Zeile 4 wird durch den Namen MARKIERUNGI eine Mar- kierung in der Prozedur gesetzt. Markierungsnamen sind (fast) beliebig wählbar. A0Q, X15, XAVER und SCHLEIFENANFANG sind zum Beispiel alles erlaubte Mar- kıerungsnamen. Die Definition einer Markierung wird durch einen Doppelpunkt abgeschlossen, der unmittelbar hinter dem Markierungsnamen steht. Der Dop- pelpunkt gehört aber nicht mehr zum Markierungsnamen. Der Prozedurteil von Zeile 4 bis Zeile 9 wird als Schleife bezeichnet. Der Befehl GEHE "MARKIE- RUNGI bewirkt den Rücksprung zur Stelle MARKIERUNGI. In Zeile 6 und 7 werden die Variablenwerte jeweils dem nächsten Feld angepaßt. Der Befehl RUECKKEHR in Zeile $ bewirkt, daß Logo an die Stelle zurückkehrt, von der aus die Prozedur aufgerufen wurde. Dies kann die Rückkehr zu einer anderen Prozedur oder auch, wie im obigen Beispiel, zum Direktbetrieb zur Folge haben,

Wir können uns den Ablauf der Prozedur anschaulich folgendermaßen vorstellen (vergleiche auch mit Bild 1.2):

vor dem Aufruf

. u. =

SCHACHTABELLE.SPRUNG ——

eu SETZE "ZAEHLER 1 SETZE "X]1 — MARKIERUNGIl: nach DRUCKEZEILE :X dem | SETZE "ZAEHLER :ZAEHLER + 1 Aufruf | SETZE "X VERDOPPLUNG :X

WENN :ZAEHLER > 64 DANN RUECKKEHR — GEHE "MARKIERUNGLI

|

dm.

Bild 2.1: Ablaufdiagramm von SCHACHTABELLE.SPRUNG

Aufgabe 2.3: Was würde passieren, wenn in Zeile 4 hinter dem Wort MARKIE- RUNGI der Doppelpunkt fehlen würde? Probiere es aus!

34

Übrigens: Wenn du den langen Namen SCHACHTABLLE.SPRUNG nicht magst, kannst du dir auch eine kleine Prozedur mit einem Kurznamen zum Aufruf schrei- ben; zum Beispiel so:

PR STS5 SCHACHTABELLE.SPRUNG ENDE

Gegen kleine, überschaubare Sprünge in Prozeduren ist wenig einzuwenden. In manchen Programmiersprachen (wie zum Beispiel BASIC) hat der Benutzer außer dem Spungbefehl praktisch keine weitere Möglichkeit, den Kontrollfluß des Pro- grammes in andere Bahnen zu lenken. In solchen Sprachen muß dann sehr viel ge- sprungen werden, und das macht die Programme unübersichtlich und fehleranfällig.

Mit der im nächsten Abschnitt beschiebenen Methode kann man praktisch vollstän- dig auf Sprünge verzichten.

2.4 Prozeduren, die sich selbst aufrufen

In der Programmiersprache Logo ist es möglich, daß sich Prozeduren selbst aufru- fen. Man bezeichnet dieses Verfahren als Rekursion. Wir schauen uns dies am be- sten wieder am Beispiel der Schachtabelle an.

PR SCHACHTABELLE.ER SETZE "ZAEHLER 1 SETZE "X 1 SCHACHTABELLE.ER.HP

ENDE

PR SCHACHTABELLE.ER.HP

DRUCKEZEILE :X

SETZE "ZAEHLER :ZAEHLER + 1

SETZE "X VERDOPPLUNG :X

WENN :ZAEHLER > 64 DANN RUECKKEHR SCHACHTABELLE.ER.HP ENDE

Erläuterungen zur Prozedur SCHACHTABELLE.ER: Die Buchstaben ER im Pro- zedurnamen werden etwas weiter unten erklärt. Die Prozedur SCHACH- TABELLE.ER dient nur dazu, die Variablen ZAEHLER und X auf die richtigen Anfangswerte zu setzen und danach das eigentliche "Arbeitspferd" aufzurufen, näm- lich die Prozedur SCHACHTABELLE.ER.HP. (Die Buchstaben HP stehen dabei für "Hilfsprozedur"). Die ersten Zeilen der Hilfsprozedur entsprechen genau dem Schleifenbeginn in der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG. Die letzte Aktion der Prozedur SCHACHTABELLE.ER.HP besteht darin, daß sie sich selbst aufruft.

Prozeduren (bzw. Funktionen), die sich selbst aufrufen, werden rekursiv genannt. Der Selbstaufruf kann dabei an verschiedenen Stellen erfolgen. Wenn jedoch, wie im Beispiel unserer obigen Hilfsprozedur, der rekursive Aufruf nur an einer einzi- gen Stelle steht und wenn er darüberhinaus die letzte Aktion der Prozedur darstellt, dann liegt ein sehr wichtiger Sonderfall der Rekursion vor. Solche Prozeduren heißen endrekursiv. Die Buchstaben ER im Prozedurnamen sollen andeuten, daß es sich um eine endrekursive Lösung handelt. Wir werden auch später diese Kenn- zeichnung bei endrekursiven Prozeduren anbringen.

35

Merke: Logo-Funktionen können nie endrekursiv sein, denn die letzte Aktion einer Funktion ist immer die Rückgabe des Funktionswertes (also nie der Selbstaufruf). Beachte auch das Beispiel der Prozedur KOERNERZAÄHL in Abschnitt 2.6.

Bei allen drei Versionen der Prozedur SCHACHTABELLE wurde immer nur die Anzahl der Reiskörner pro Feld ausgedruckt. Es wäre sehr viel informativer, wenn vor dieser Zahl die jeweilige Feldinummer stünde.

Aufgabe 2.4: Ändere die Schachtabelle-Prozeduren so ab, daß in jeder Zeile zuerst die Feldinummer und dann die Körnerzahl gedruckt wird.

2,5 Lokale Variable

Die bisher besprochenen Versionen der Prozedur SCHACHTABELLE sind nur als erste Versuche anzusehen, die noch in vielerlei Hinsicht verbesserungsfähig sind. Im folgenden werden nun einige dieser Verbesserungen diskutiert. Dies soll am Beispiel der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG geschehen; die Änderungen sind dann leicht auf die beiden anderen Prozeduren (SCHACHTABELLE und SCHACHTABELLE.ER) zu übertragen.

Eine Variable ist für Logo ein Name, der einen Wert besitzt. Mit dem Kommando ZEIGE NAMEN (kurz ZG NAMEN) kann man sich alle Namen zeigen lassen, die Logo zu diesem Zeitpunkt kennt. Probieren wir es gleich einmal aus:

ZEIGE NAMEN "X se 184467619 (lies: der Wert von X ist 1.84467E19) "ZAEHLER .. 65 (lies: der Wert von ZAEHLER ist 65)

Logo hatte also in der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG schon die Werte für das 65-te Feld berechnet und in seinem Arbeitsspeicher abgelegt; aber vor dem Ausdrucken dieser Werte war die Abbruchbedingung erreicht worden. Dennoch kann man die Variablen X und ZAEHLER auch nach Ende des Laufs der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG benutzen; also zum Beispiel ihre Werte abfragen, sie mit neuen Werten belegen, usw. Variable, zu denen man auf diese Weise im Direkt- betrieb Zugriff hat, heißen globale Variable.

Es mag im Augenblick als ganz schön erscheinen, daß man sich die neuen Werte der globalen Variablen X und ZAEHLER noch im Direktbetrieb anschauen kann. Wenn man aber größere Programme schreibt, wird man sehr bald erkennen, daß es höchst fehleranfällig ist, wenn man mit vielen globalen Variablen arbeitet. Jede Prozedur sollte möglichst genau das tun, was ihr Prozedurname besagt. Von der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG erwarten wir, daß sie die entsprechende Tabelle aus- druckt. Es gehört aber nicht mehr zu ihrem "Geschäft", daß sie nach ihrem Ablauf noch irgendwelche Speicherzellen des Computers in Beschlag nimmt. Wenn sie während ihres Laufs gewisse Hilfsvariable benötigt, dann ist das in Ordnung, und sie bekommt sie auch zur Verfügung gestellt, aber nach ihrem Lauf sollte wieder "reiner Tisch" gemacht werden. Dieses Problem betrifft nicht nur Logo, sondern‘ jede Programmiersprache. In jeder vernünftigen Sprache gibt es die folgende Standardlösung dafür: man verhindert, daß die Variablen X und ZAEHLER als globale Variablen erzeugt werden, indem man sie in der Prozedur SCHACH- TABELLE als lokale Variable deklariert. Dies geschieht mit Hilfe des Logo- Grundworts LOKAL. Lokale Variable "leben" nur so lange, wie die Prozedur läuft, in der sie definiert sind. Nach Ablauf dieser Prozedur sind sie wieder ver-

36

schwunden, und der von ihnen belegte "Speicherplatz wird wieder frei gemacht. Hier die verbesserte Prozedur (der Zusatz "V2" steht für Version 2):

PR SCHACHTABELLE.SPRUNG.V2 LOKAL "ZAEHLER SETZE "ZAEHLER 1

LOKAL "X SETZE "X 1 MARKIERUNGI:

( DRUCKEZEILE :ZAEHLER :X )

SETZE "ZAEHLER :ZAEHLER + 1

SETZE "X _VERDOPPLUNG :X

WENN :ZAEHLER > 64 DANN RUECKKEHR GEHE "MARKIERUNG ENDE

Probiere jetzt folgendes im Direktbetrieb aus:

ZEIGE NAMEN "X .1.84467E19 "FTAEHLER ... 65 ?<Blinker>

VERGISS NAMEN _ (Die globalen Variablen werden gelöscht). ZEIGE NAMEN ?<Blinker>

Es erscheinen nur noch das Logo-Bereitschaftszeichen (in Form eines Fragezeichens) und der Blinker. Logo kennt keine globalen Variablen mehr. Wir experimentieren weiter:

SCHACHTABELLE.SPRUNG.V2 1:3 2.2 3 4

ZEIGE NAMEN ?<Blinker>

Auch jetzt bringt Logo nur das Bereitschaftszeichen und den: Blinker; durch den Lauf von SCHACHTABELLE.SPRUNG.V2 wurden keine globalen Variablen er- zeugt.

Schließlich wollen wir noch eine weitere Verbesserung durchführen. Der Bildschirm faßt nur 25 Zeilen. Nach dem Lauf der Prozedur SCHACHTABELLE sind also nur noch die Ergebnisse der Felder 41 bis 64 zu sehen. Es wäre doch wünschenswert, daß wir beim Aufruf der Prozedur SCHACHTABELLE an Stelle der festen Felder- zahl 64 eine variable Obergrenze eingeben könnten, bei der die Prozedur dann ihren Lauf stoppt. Wie man Prozeduren mit Eingabewerten "bestückt", haben wir schon im vorigen Kapitel gesehen. Ganz entsprechend geht es auch hier. Abschließend eine einigermaßen komplette Version der Prozedur SCHACHTABELLE:

37

PR SCHACHTABELLE.SPRUNG.V3 :OBERGRENZE LOKAL "ZAEHLER SETZE "ZAEHLER 1

LORAL "X SETZE "X 1 MARKIERUNGI:

( DRUCKEZEILE :ZAEHLER :X)

SETZE "ZAEHLER :ZAEHLER + 1

SETZE "X VERDOPPLUNG ;:X

WENN :ZAEHLER > :OBERGRENZE DANN RUECKKEHR GEHE "MARKIERUNG1 ENDE

Schließlich noch ein kleiner Abschlußtest im Direktbetrieb;:

VERGISS NAMEN SCHACHTABELLE.SPRUNG.V3 8

ZEIGE NAMEN ?<Blinker>

Logo kennt auch nach diesem Lauf keine globalen Namen. Dieses Beispiel zeist, daß auch die Eingabeparameter von Prozeduren (im obigen Beispiel der Parameter OBERGRENZE) lokale Variable sind.

Aufgabe 2.5: Schreibe eine Prozedur STS3 als Kurzaufruf für SCHACH- TABELLE.SPRUNG.YV3.

Aufgabe 2.6: Übertrage die in diesem Abschnitt besprochenen Verbesserungen sinn- gemäß auch auf die Prozeduren SCHACHTABELLE und SCHACHTABELLE.ER.

Der letzte Aufruf hat uns gezeigt, daß Variable, die als Eingabeparameter von Pro- zeduren vorkommen, stets lokal sind. Dies bedeutet, daß wir die rekursive Version von SCHACHTABELLE auch folgendermaßen schreiben können:

PR SCHACHTABELLE.ER.V2 :0G SCHACHTABELLE.ER.V2.HP :0C 1 1 ENDE

PR SCHACHTABELLE.ER.V2.HP :0G :2 :X

WENN :Z2 > :0OG DANN RUECKKEHR

({ DRUCKEZEILE :Z2 :X

SCHACHTABELLE.ER.V2.HP :0G (:Z2+1) (VERDOPPLUNG :X) ENDE

Erläuterungen zur Prozedur SCHACHTABELLE.ER.F2: Die Buchstaben ER, WV2 und HP sollen wieder für "endrekursiv", "Version 2" und "Hilfsprozedur" stehen. Die Variablen OG und Z stehen für Obergrenze und Zähler, der Wert von X ist nach wie vor die Anzahl der Reiskörner auf dem jeweiligen Feld.

38

Der entscheidende Unterschied zur letzten endrekursiven Version ist, daß die Hilfs- prozedur jetzt über Eingabeparameter verfügt. Wenn dies der Fall ist, dann braucht man Variable nicht mehr wie vorher mit dem SETZE-Befehl zu verändern, sondern man weist ihnen beim Aufruf einfach den richtigen Wert zu. Die Zeilen!

SETZE "ZAEHLER 1 SETZE "X 1

in der alten Version von SCHACHTABELLE.ER dienten ja nur dazu, die in der Hilfsprozedur benötigten Variablen mit den richtigen Anfangswerten zu bestücken. Dies geht aber viel einfacher, indem wir diese Variablen zu Eingabeparametern der Hilfsprozedur machen und die Hilfsprozedur dann mit den richtigen Werten für diese Parameter aufrufen. Diesem Ziel dient der Aufruf

SCHACHTABELLE.ER.V2.HP :0G 1 1

Durch diesen Aufruf erhalten die Variablen Z und X (in dieser Reihenfolge) jeweils den Wert I zugeordnet. Nachdem der DRUCKEZEILE-Befehl abgearbeitet worden ist, ist die Zeile

SCHACHTABELLE.ER.V2.HP :0G (:Z+l) (VERDOPPLUNG :X)

zu verarbeiten. Dazu müssen zuerst die neuen Werte für die Eingabeparameter er- mittelt werden. Der Parameter OG verändert sich nicht, der augenblickliche Wert von Z ist 1, damit erhält Z als neuen Wert :Z+l, also 2. Der neue Wert von X ist das Ergebnis des Aufrufes VERDOPPLUNG 1, also ebenfalls 2. Beim nächsten Aufruf erhält Z den Wert 3 und X den Wert 4, danach Z den Wert 4 und X den Wert 8, usw.

Man kann den Ablauf von Prozeduren sehr gut im Protokollmodus verfolgen. Durch PE (für PROTOKOLL EIN) und PA (für PROTOKOLL AUS) läßt sich die- ser Modus ein- und ausschalten. Der Protokollmodus eignet sich besonders gut zum Verständnis rekursiver Prozeduren. Wir probieren es am besten einfach aus:

PE SCHACHTABELLE.ER.V2 5

Im Protokollmodus druckt Logo jede Prozedur-Zeile vor ihrer Ausführung am Bildschirm und wartet. Erst nach Eingabe eines <RETURN>-Zeichens fährt Logo mit der Abarbeitung der ausgedruckten Zeile fort. Gib nach Ablauf des Protokolls das Kommando PA (Protokoll aus) ein.

Aufgabe 2.7: Durch die Verwendung ziemlich langer Namen wurde das Protokoll etwas unübersichtlich. Schreibe kurznamige Prozeduren STER2 und STER2H an Stelle von SCHACHTABELLE.ER.V2 und SCHACHTABELLE.ER.V2.HP und laß diese neuen Prozeduren im Protokollmodus laufen.

Aufgabe 2.8: Ändere die SCHACHTABELLE-Prozeduren so ab, daß für jedes Feld zugleich die laufende Summe aller Körner bis zu diesem Feld berechnet und ausge- druckt wird (abgesehen von der stellengerechten Darstellung also etwa folgen- dermaßen):

39

1 l 1 2 2 3 3 “ 7 4 8 15 5 16 st 6 32 63 # 64 127 8 128 255

Tabelle 2.1

Vergleiche die Zahlen in der "Summenspalte" (3. Spalte) mit den Zahlen in der "Feldspalte" (2. Spalte) der jeweils nächsten Zeile. Formuliere eine Gesetzmäßigkeit und begründe sie.

Eine Bemerkung zum stellengerechten Ausdrucken: Stellengerechte Ausdrucke sind auf den heutigen Mikrocomputern meist nur mit Mühe herzustellen. Der besseren Lesbarkeit halber sind die Ausdrucke in diesem Buch dennoch in stellengerechter Form gegeben, auch wenn sie bei den meisten Prozeduren auf dem Bildschirm nicht stellengerecht erscheinen. Eine Möglichkeit, um stellengerechte Ausdrucke durch eigene Prozeduren zu erzeugen, ist in dem Buch "Programmieren lernen mit Logo" (Jochen Ziegenbalg), Hanser Verlag, Kapitel 9, beschrieben.

2.6 Rekursive Funktionen

Weiter oben mußten wir feststellen, daß Funktionen (leider) nie endrekursiv sind. Hierzu ein Beispiel. Der Aufruf KOERNERZAHL :N soll nur die Anzahl der Körner auf dem Feld Nr. :N als Funktionswert zurückgeben und ansonsten keine Nebenwirkungen haben.

PR KOERNERZAHL :N WENN :N = 1 DANN RUECKGABE 1

RUECKGABE 2 * KOERNERZAHL (:N - ]1) ENDE

Einige Aufrufe:

KOERNERZAHL | ERGEBNIS: 1

KOERNERZAHL 5 ERGEBNIS: 16

KOERNERZAHL 20 ERGEBNIS: 524288

KOENERZAHL 30 ERGEBNIS: 536870912

KOERNERZAHL 100 SPEICHER VOLL! ...

40

Um den Ablauf der Prozedur KOERNERZAHL besser zu verstehen, schauen wir sie uns im Protokollmodus an:

PE KOERNERZAHL 3 AUFRUF--- KOERNERZAHL 3

WENN :N = 1 DANN RUECKGABE 1

RUECKGABE 2 * KOERNERZAHL (:N - 1) AUFRUF--- KOERNERZAHL 2

WENN :N = 1 DANN RUECKGABE 1

RUECKGABE 2 * KOERNERZAHL (:N - 1)

AUFRUF--- ROERNERZAHL 1 WENN :N = 1 DANN RUECKGABE 1 RUECKG. 1 FERTIG KOERNERZAHL RUECKG. 2 FERTIG KOERNERZAHL RUECKG. 4

FERTIG KOERNERZAHL ERGEBNIS: 4

Merke: Logo leitet Funktionswerte mit dem RUECKGABE-Befehl immer an die Stelle weiter, von wo aus der Aufruf erfolgte. Dies kann insbesondere auch ein früherer Aufruf derselben Funktion sein. Genau dies ist beim Aufruf der Funktion KOERNERZAHL der Fall.

Schauen wir uns einmal die mathematische Substanz eines solchen Protokolls an:

KOERNERZAHL 4 KOERNERZAHL 3

( 2 * KOERNERZAHL 2 )

mu

Ei. JE BEE DE 7

(2 * ( 2 * KOERNERZAHL 1) ) (22 IL) )

(2%*2)

4

mm A

OU DDDmMEUD

Die Funktion KOERNERZAHL ruft sich im letzten Beispiel dreimal selbst auf. Logo muß dabei genau Buch führen, wohin der Funktionswert jeweils zurückzuge- ben ist und wie er weiterzuverarbeiten ist. Dazu legt Logo einen Speicher an, den sogenannten Rekursionsstack. Bei jedem Aufruf kommen die Angaben zur Weiter- verarbeitung des Funktionswertes auf den Rekursionsstack; bei jeder Rückgabe wer- den sie nach dem Prinzip last in - first out wieder vom Stack genommen. Je tie- fer die Rekursion geht, um so stärker wird der Speicher belastet. Wenn man den Eingabewert :N nur hinreichend groß wählt, kann man den Speicher sprengen. Im obigen Beispiel führte deshalb der Aufruf KOERNERZAHL 100 zur Fehler- meldung SPEICHER VOLL!.

Dies ist bedauerlich, weil die obige Version der Funktion Körnerzahl von allen denkbaren Lösungen sprachlich sicher die eleganteste ist. Aber was hilft’s? Proze- duren oder Funktionen, bei deren Benutzung sehr bald der Speicher voll läuft, sind nur von theoretischer Bedeutung.

Deshalb sei im folgenden noch eine Standard-Methode gezeigt, mit der man voll

rekursive Funktionen, wie die obige, in endrekursive überführen und damit das Vollaufen des Speichers vermeiden kann.

41

PR KOERNERZAHL.ER :N LOKAL "ANZAHL

SETZE "ANZAHL 1 KOERNERZAHL.ER.HP :N 1 RUECKGABE. :ANZAHL

ENDE

PR KOERNERZAHL.ER.HP :N :I WENN :I = :N DANN RUECKKEHR SETZE "ANZAHL 2 * :ANZAHL KOERNERZAHL.ER.HP :N (:I+])

ENDE

KOERNERZAHL.ER 64 ERGEBINS: 9.22338E18

KOERNERZAHL.ER 100 ERGEBNIS: 6.33826E29

Aufgabe 2.9: Stelle das letzte Ergebnis als normale Dezimalzahl dar.

Wenn wir die Prozedur KOERNERZAHL.ER.HP im Direktbetrieb aufrufen, etwa durch KOERNERZAHL.ER.HP 20 I, dann bringt Logo die Fehlermeldung, daß der Name ANZAHL unbekannt ist. Wieso hat Logo vorhin den Namen Anzahl ge- kannt, als die Hilfsprozedur von der Prozedur KOERNERZAHL.ER aus aufgerufen wurde? Nun, das liegt an der folgenden sehr wichtigen Tatsache:

Merke: Aufgerufene Prozeduren übernehmen alle Variablen (einschließlich ihrer Werte) von der aufrufenden Prozedur.

Aufgabe 2.10: Schreibe eine "Sprung"-Version der Funktion KOERNERZAHL.

Aufgabe 2.11: Bereinige den Arbeitsspeicher und speichere die verbleibenden Pro- zeduren unter einem geeigneten Dateinamen (zum Beispiel: SCHACH) ab. Hinweise dazu sind in Abschnitt 1.12 zu finden.

Die Version KOERNERZAHL.ER ist auch noch eine relativ "saubere" Lösung: sie schafft keine globalen Variablen, die später im Speicher "herumvagabundieren”, und sie gibt nach ihrem Lauf den benötigten Speicher wieder frei. Das einzige, was sie tut, ist das, was von ihr erwartet wird, nämlich den gesuchten Funktionswert zurückzugeben. Ansonsten hat sie keine Nebenwirkungen. Dies wird für uns im folgenden die Standardmethode sein, um Funktionen zu schreiben, die Wiederholungsschleifen enthalten.

42

2.7 Listen

Die obigen Versionen der Prozedur SCHACHTABELLE haben einen Schönheitsfeh- ler. Werte, die nur am Bildschirm oder auf Papier ausgedruckt wurden, können nicht mehr weiterverarbeitet werden.

Einen gewissen Ausweg aus diesem Dilemma stellt die Funktion KOERNERZAHL dar. Aber sie liefert immer nur eine einzige Zahl als Funktionswert. Wenn man zum Beispiel Gesetzmäßigkeiten in der Entwicklung der Körnerzahlen per Pro- gramm untersuchen will, dann benötigt man unter Umständen viele Werte "auf einen Schlag",

Im folgenden werden wir eine Möglichkeit kennenlernen, die Funktionswerte so zu speichern, daß man sie geschickt weiterverarbeiten kann. Wir werden die Körner- zahlen in einer "Liste" abspeichern. Eine Liste ist ein Speicherelement (vornehm ausgedrückt: ein Datentyp), in dem man Zahlen, Wörter (Zeichenketten) und sogar wieder Listen abspeichern kann. Die einzelnen Elemente einer Liste werden, durch Leerzeichen getrennt, nebeneinander geschrieben. Anfang und Ende jeder Liste sind durch eckige Klammern gekennzeichnet. Hier einige Beispiele für Listen:

123 %&% 57 ( 5 Elemente) [AAl5 BB 75 5] ( 6 Elemente)

Die folgende Liste besteht aus 8 Elementen; den Wörtern A, B, C, D, der Teilliste [EF] sowie den Wörtern G,HundK: [ABCD _[EF] GHAK|]

Die leere Liste [ ] enthält überhaupt kein Element.

Die Listenverarbeitung ist eines der wesentlichen Merkmale der Programmiersprache Logo. Logo ist ein Dialekt der Sprache Lisp, deren Name für List Processing Lan- guage (deutsch: listenverarbeitende Sprache) steht.

Es gibt eine Vielzahl von Logo-Grundbefehlen, mit denen man Listen auseinander- nehmen und zusammenbauen kann. Manche dieser Befehle entsprechen Grundbe- fehlen, die wir schon im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Wörtern kennen- gelernt haben. Hier einige Beispiele:

ERSTES [X YZ] (Kurzform: ER) ERGEBNIS: X

OHNEERSTES [Al B2 C3 D4] (Kurzform: OE) ERGEBNIS: [B2 C3 D4 ]

LETZTES [ JAN FEBMRZ APR ] (Kurzform: LZ) ERGEBNIS: APR

OHNELETZTES [[12] [34] [56]] (Kurzform: OL) ERGEBNIS: [[12]1[34]]

Dem Grundbefehl WORT entspricht bei der Listenverarbeitung der Grundbefehl SATZ. Mit diesem Grundbefehl kann man Listen zusammenfügen.

SATZ [AB] [CDE] ERGEBNIS: [ABCDE]

43

Alle diese Befehle sind auch auf geschachtelte Listen anwendbar und in Verbindung mit Variablen möglich; hier einige Beispiele:

ERSTES [[XYZ]J DEF] ERGEBNIS: I[XYZ]

OHNELETZIES [_ [UVYW]I LALBLCI11]I ] ERGEBNIS: [[UVW]]

SETZE "LI [1234] SATZ LI [X YZ] ERGEBNIS: [1234XYZ]

Der Grundbefehl LISTE fügt seine beiden Eingaben zu einer Liste zusammen,

LISTE "A "B ERGEBNIS: [AB]

LISTE [121 [CD] ERGEBNIS: [[12] [CD]]

Wenn man mehr als zwei oder nur ein Element zu einer Liste zusammenfügen lassen will, muß man (ähnlich wie bei den Druckbefehlen) den gesamten Aufruf in runde Klammern schreiben.

(LISTE "x ) ERGEBNIS: [X]

nn )

(LISTE "A [BC] Be) D7

ERGEBNIS: [A

Bei den letzten beiden Beispielen sind die Leerzeichen zwischen X bzw. D und der schließenden (runden) Klammer sehr wichtig. Wenn sie fehlten, würde Logo die Zeichenkette X) bzw. D) jeweils als zweielementige Zeichenketten ansehen und die schließenden Klammern vermissen!

Auch das Grundwort SATZ "verkraftet" Mehrfacheingaben in Verbindung mit run- den Klammern.

Aufgabe 2.12: Mache dir die Wirkungsweise von LISTE und SATZ klar, indem du bei den obigen Beispielen an Stelle von LISTE jeweils SATZ eingibst und umge- kehrt.

Zwei weitere wichtige Grundwörter zur Listenverarbeitung sind MITERSTEM (kurz ME) und MITLETZTEM (kurz ML). Auch dazu einige Beispiele:

MITERSTEM "H [AUS] ERGEBNIS: [HAUS]

MITLETZTEM "OMEGA [ ALPHA ] ERGEBNIS: [ ALPHA OMEGA ]

MITERSTEM [AI1] [[B2] [C3]] ERGEBNE: I[[AT] [E27] [E3]]

4

Die Grundbefehle MITERSTEM bzw. MITLETZTEM erwarten zwei Eingaben: ein beliebiges Objekt und eine Liste. Das Objekt kann zum Beispiel eine Zahl, ein Wort oder selbst eine Liste sein. Es wird durch den Grundbefehl als erstes (bzw. letztes) Element in die Liste eingefügt.

Wir können uns nun dem Ausgangsproblem dieses Abschnitts zuwenden, die gesamte Schachtabelle "auf einen Schlag" in Form einer Liste auszugeben. Die entsprechende Funktion soll nun sinngemäß SCHACHLISTE heißen. Sie entsteht durch Abwand- lung der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG.V3 aus Abschnitt 2.5.

1: PR SCHACHLISTE.SPRUNG :OBERGRENZE 2: LOKAL "ZAEHLER 3: SETZE "ZAEHLER 1 4: LOKAL "X 5: SETZE "X 1 6: LOKAL "KOERNERLISTE 13 SETZE "KOERNERLISTE [ ] 8: MARKIERUNGI: : SETZE "KOERNERLISTE MITLETZTEM :X :KOERNERLISTE 10: SETZE "ZAEHLER :ZAEHLER + 1 113 SETZE "X VERDOPPLUNG :X 123 WENN :ZAEHLER > :OBERGRENZE RUECKGABE :KOERNERLISTE 133 GEHE "MARKIERUNGI1 14: ENDE

SCHACHLISTE.SPRUNG 12 ERGEBNIS: [ 1248 16 32 64 128 256 512 1024 2048 ]

Diese Funktion unterscheidet sich von der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG.- V3 in den folgenden drei Punkten: zunächst einmal wurde in Zeile 6 und 7 die lo- kale Variable KOERNERLISTE eingeführt und mit dem Anfangswert [ ] (leere Liste) belegt. Der frühere Druckbefehl wurde gestrichen; statt dessen wird jetzt die KOERNERLISTE mit dem aktuellen Wert von X als letztem Element bestückt (Zeile 9). Schließlich wird der Lauf der Prozedur nun nicht mehr durch RUECKKEHR, sondern durch die Funktionswertrückgabe beendet (Zeile 12).

Aufgabe 2.13: Füge zwischen Zeile 8 und Zeile 9 den Befehl DRUCKEZEILE :KOERNERLISTE ein und beobachte den Programmlauf. Denke daran, daß der Druckbefehl beim Ausdruck von Listen die äußersten Klammern wegläßt (siehe Abschnitt 1.8). Entferne diesen Druckbefehl danach wieder.

Aufgabe 2.14: Schreibe eine Funktion SCHACHLISTE.ER, die durch Übertragung der Prozedur SCHACHTABELLE.ER.V3 entsteht.

Aufgabe 2.15: Schreibe eine voll rekursive Version der Funktion SCHACHLISTE, die ohne den SETZE-Befehl auskommt.

Aufgabe 2.16: Schreibe eine Funktion SCHACHLISTE.VERBESSERT, welche die folgende aus den Paaren Feldnummer / Körnerzahl bestehende Liste als "Funktionswert" zurückgibt:

BEREIT ICH NE IE EEE

45

2.8 Prüfwörter

Logo verfügt über eine Reihe sehr nützlicher Prüfwörter. Dies sınd Funktionen, die einen der Werte WAHR oder FALSCH zurückgeben. Die Prüfwörter enden mit ei- nem Fragezeichen.

Mit dem Aufruf ZAHL? :X wird überprüft, ob die Eingabe :X eine Zahl ist oder nicht.

ZAHL? 30031 ERGEBNIS: WAHR

ZAHL? 3.14 ERGEBNIS: WAHR

ZAHL? "ABC ERGEBNIS: FALSCH ( ABC ist ein Wort, keine Zahl)

ZAHL? [6.28] ERGEBNIS: FALSCH ( die Eingabe ist eine Liste )

Mit dem Aufruf WORT? :Y wird überprüft, ob die Eingabe :Y ein Wort ist oder nicht.

WORT? "XAVER ERGEBNIS: WAHR

WORT? "2.71 ERGEBBIS:: WAHR

WORT? [XYZ] ERGEBNIS: FALSCH

Die Zahlen werden zu den Wörtern gerechnet:

WORT? 2.71 ERGEBNIS: WAHR

WORT? 1001 ERGEBNIS: WAHR

Mit dem Aufruf LISTE? :Z kann man überprüfen, ob die Eingabe :Z eine Liste ist.

LISIE!? [UVW] ERGEBNIS: WAHR

LISTE? "BST

ERGEBNIS: FALSCH (die Eingabe ist ein Wort) LISTE? 26.5

ERGEBNIS: FALSCH (die Eingabe ist eine Zahl)

46

Der Aufruf NAME? :X prüft, ob die Eingabe :X als Name einer Variablen defi- niert ist. Damit keine Nebenwirkungen auftreten, löschen wir vor dem nächsten Test den Arbeitsspeicher mit Hilfe von ADE.

NAME? "X ERGEBNIS: FALSCH

SETZE "X 17.8 NAME? "X ERGEBNIS: WAHR

Natürlich kann man beim Arbeiten mit Prüfwörtern auch Variable verwenden. Zum Beispiel:

SEIZE 'Y "HUGO WORT? WERT "Y ERGEBNIS: WAHR

WORT? :Y ERGEBNIS: WAHR

Aufgabe 2.17: Experimentiere auch mit den anderen Prüfwörtern in Verbindung mit Variablen.

Im nächsten Kapitel werden wir sehen, wie man sich selber Prüfwörter schreiben kann, zum Beispiel das Prüfwort TEILT?. Mit dem Aufruf TEILT! :A BB werden wir entscheiden können, ob die Zahl :A die Zahl :B teilt.

47

Kapitel 3: Aus der Teilbarkeitslehre

3.1 Teiler Probiere folgendes im Direktbetrieb aus:

DIY 12 2 ERGEBNIS: 6

Div 15 3 ERGEBNIS: 5

DIV 72 ERGEBNIS: 3

DIV 31 7 ERGEBNIS: 4

DIV 3 5 ERGEBNIS: 0

Die Logo-Grundfunktion DIV erwartet zwei Eingabewerte. Sie überprüft, wie oft die zweite Zahl "ganz" in der ersten Zahl "aufgeht", und gibt diese Zahl als Funktionswert zurück. DIV bewirkt offenbar die Ganzzahldivision, wie sie schon in der Grundschule geübt wird.

Zur Ganzzahldivision gehört auch die Frage nach dem Divisionsrest. Die Logo- Grundfunktion REST liefert uns die entsprechenden Antworten:

RESI 12 2 ERGEBNIS: 0

REST 15 3 ERGEBNIS: 0

REST 7 2 ERGEBNIS: ]

REST 31 7 ERGEBNIS: 3

REST 35 ERGEBNIS: 3

Mit Hilfe von REST können wir entscheiden, ob eine Zahl eine andere teilt, denn die Zahl a teilt die Zahl b, wenn die Ganzzahldivision von b durch a den Rest Null ergibt. Die Zahl 12 teilt zum Beispiel die Zahl 48, weil "48 geteilt durch 12" den Rest Null liefert.

Aufgabe 3.1: Gib Beispiele für die folgende Aussage an: Die Zahl a teilt die Zahl b genau dann, wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit der Eigenschaft: b=n*a.

Bei Teilbarkeitsfragen sollte man Divisionen immer mit der Ganzzahldivision (DIV) und nicht mit der Gleitkommadivision (Schrägstrich) ausführen, denn die Gleit-

48

kommadivision führt häufig zu Ergebnissen, die nur näherungsweise richtig sind (siehe Kapitel 1, Abschnitt 1.3), und dies ist in der Teilbarkeitslehre nicht akzepta- bel.

Hier zunächst eine etwas umständliche Möglichkeit, um die Teilbarkeıt zu überprü- fen:

PR TEILT? .UMSTAENDLICH :A :B WENN (REST :B :A) = O0 DANN RUECKGABE "WAHR SONST RUECKGABE "FALSCH

ENDE

Die Unterstreichungszeichen gehören nicht zum Logo-Programm selbst. Sie sollen nur andeuten, daß die dadurch verbundenen optischen Zeilen als eine logische Zeile gewertet werden. Im Editiermodus sieht die Prozedur TEILT?.UMSTAENDLICH folgendermaßen aus:

PR TEILT?.UMSTAENDLICH :A :B

WENN ( REST :B :A ) = 0 DANN RUECKGABE! "WAHR SONST RUECKGABE "FALSCH

ENDE

Das Ausrufezeichen am rechten Bildschirmrand gehört nicht zur eigentlichen Proze- dur. Es soll nur andeuten, daß die logische Programmzeile über den rechten Rand der optischen Bildschirmzeile fließt, daß die Anweisung also auf der nächsten Zeile weitergeht. Die automatische Trennung durch das Ausrufezeichen erfolgt manchmal an sehr ungünstigen Stellen. Der besseren Lesbarkeit halber wird in diesem Buch wie im obigen Beispiel das Unterstreichungszeichen verwendet, um anzudeuten, daß zwei (oder mehr) optische Zeilen zusammengehören. Der Prozedurkörper von TEILT?.UMSTAENDLICH besteht also nur aus einer einzigen (logischen) Zeile. Das Unterstreichungszeichen ist beim Eintippen der Prozedur einfach wegzulassen. Wenn die Bildschirmzeile "überläuft", setzt Logo automatisch das Ausrufezeichen.

Weil der RUECKGABE-Befehl bewirkt, daß die Funktion verlassen wird, ist die obige "einzeilige" Version gleichwertig zur folgenden "zweizeiligen" Fassung:

PR TEILT?.UMSTAENDLICH.V2 :A :B

WENN (REST :B :A) = 0 DANN RUECKGABE "WAHR RUECKGABE "FALSCH ENDE

In den meisten Programmiersprachen würde man das Problem wohl ähnlich wie im Beispiel TEILT?.UMSTAENDLICH lösen. In Logo geht es aber noch viel besser, Probieren wir zunächst folgendes im Direktbetrieb aus:

(REST 6 3) = 0 ERGEBNIS: WAHR

(REST 11 4) = OÖ ERGEBNIS: FALSCH

Das Gleichheitszeichen liefert die Funktionswerte WAHR bzw. FALSCH, die wir, wie andere Funktionswerte auch, sofort weiterverarbeiten können.

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PR TEILT? ;5& :—B RUECKGABE ( REST :B :A) = ENDE

Eine Probe:

TEILT? 4 12 ERGEBNIS: WAHR

TEILT? 3:12 ERGEBNIS: FALSCH

Erläuterung der Funktion TEILT?: Der Ausdruck (REST :A :B) = 0 wird von Logo ausgewertet und ergibt den Wert WAHR oder FALSCH. Dieser Wert wird durch den RUECKGABE-Befehl weitergeleitet und dadurch zum Funktionswert der Funktion TEILT? gemacht, Die Funktion TEILT? hat als Ausgabewert also stets einen der Werte WAHR oder FALSCH. Wir haben derartige Funktionen in Kapitel 2, Abschnitt 2.8 bereits als Prüfwörter kennengelernt. So überprüft die Funktion TEILT? zum Beispiel, ob die Zahl :A die Zahl :B teilt. Damit man die Prüfwörter besser erkennen kann, sollte man sie mit einem Fragezeichen versehen. Die Pro- gramme werden dadurch besser lesbar,

Wir können nun zum Beispiel alle Teiler einer Zahl ausdrucken:

PR TEILER.AUSDRUCK :N

LOKAL "T SETZE "T 1 SCHLEIFENANFANG:

WENN TEILT? :T :N DANN DRUCKEZEILE :T SELZE "DE ST HI

WENN :T > :N DANN RUECKKEHR

GEHE "SCHLEIFENANFANG

ENDE

Einige Aufrufbeispiele:

TEILER.AUSDRUCK _ 24

Do on abo

ab

TEILER.AUSDRUCK_ 18

l

>

a

6

9

18

Erläuterung zur Prozedur TEILER.AUSDRUCK: Diese Prozedur entspricht von der Schleifen-Struktur her völlig der Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG. T ist der

50

Name einer Hilfsvariablen, deren Wert von |] bis :N+l läuft. Wenn :T ein Teiler von :N ist, wird :T ausgedruckt, sonst nicht. Also werden genau die Teiler von !N aus- gedruckt. Zum Vergleich wollen wir noch die entsprechende endrekursive Version betrachten:

PR TEILER.AUSDRUCK.ER :N TEILER.AUSDRUCK.ER.HP :N 1 ENDE

PR TEILER.AUSDRUCK.ER.HP :N :T WENN TEILT? :T :N DANN DRUCKEZEILE :T WENN :T > :N DANN RUECKKEHR TEILER.AUSDRUCK.ER.HP :N (:T+tl)

ENDE

Erläuterungen zur Prozedur TEILER.AUSDRUCK.ER: Die Prozedur dieses Namens ruft nur das eigentliche "Arbeitspferd" TEILER.AUSDRUCK.ER.HP auf. (Die Zu- sätze ER und HP sollen, wie bisher auch, "endrekursiv" und "Hilfsprozedur" bedeu- ten).

Es ist sehr lehrreich, die Prozedur TEILER.AUSDRUCK.ER im Protokollmodus laufen zu lassen. Hier ein abgekürztes Protokoll, aus dem der Ablauf besonders deutlich hervorgeht:

TEILER.AUSDRUCK.ER 6 TEILER.AUSDRUCK.ER.HP 6 | l

TEILER.AUSDRUCK.ER.HP 6 2

2

TEILER.AUSDRUCK.ER.HP 6 3 3

TEILER.AUSDRUCK.ER.HP 6 4 TEILER.AUSDRUCK.ER.HP 6 5 TEILER.AUSDRUCK.ER.HP 6 6 6

?<BLINKER>

Es ist eigentlich unnötig, die Hilfsvariable T alle Werte von I bis :N durchlaufen zu lassen. Denn die Teiler treten paarweise auf. Zu jedem Teiler gehört sein Partner (auch Komplementärteiler genannt). Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 24. Dann haben wir die folgenden Paare:

Teiler ! Partner s 8 l 24 2 | 12 3 | 8 4 | 6

Tabelle 3.1

Aufgabe 3.2: Verbessere die obigen TEILER-Prozeduren so, daß mit jedem Teiler gleich sein Partner ausgedruckt wird. Wie weit muß man dann die Hilfsvariable T noch laufen lassen? Stoppe für verschiedene Werte von :N das Verhältnis von "Laufzeit der langsamen Version" zu "Laufzeit der schnellen Version",

31

Aufgabe 3.3: Aus Tabelle 3.1 könnte man auf den ersten Blick schließen, daß die Teilerzahl stets gerade ist. Denn die Teiler treten ja immer paarweise auf. UÜber- prüfe dies. Teste die Zahl 1522756.

Unsere bisherigen TEILER-Prozeduren haben noch einen Schönheitsfehler. Werte, die nur am Bildschirm oder auf Papier ausgedruckt wurden, können nicht mehr gut weiterverarbeitet werden. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen zunächst die Teiler der Zahlen 72 und 148 und danach ihre gemeinsamen Teiler bestimmen. Dann können wir uns mit den obigen Prozeduren zwar die Teiler von 72 und 148 ausdrucken lassen; die gemeinsamen Teiler müßten wir dann aus diesen Listen aber "von Hand" ermitteln. Dies ist natürlich unbefriedigend. Denn wenn wir schon einen Computer haben, dann wollen wir ihn gleich richtig einsetzen und nicht etwa seine Vorarbeit noch von Hand zu überarbeiten haben.

Im folgenden werden wir deshalb die Teiler so abspeichern, daß man sie geschickt weiterverarbeiten kann. Das geeignete Speichermedium ist offenbar die Liste (vergleiche Kapitel 2, Abschnitt 2.7).

Für unsere Teilermengen benötigen wir nur ziemlich einfache Listen. Die Liste [12369 18 ] enthält zum Beispiel gerade die Teiler der Zahl 18. Wie wir in Abschnitt 2.7 gesehen haben, kann man auch ganze Listen in einem einzigen Variablennamen verpacken; zum Beispiel:

SETZE "L [12346 8 12 24 |] WERT "L (bzw. :L) ERGEBNIS: [123468 12 24 ]

In der Variablen namens L verbergen sich also jetzt gerade die Teiler der Zahl 24. Natürlich hätte man auch einen Namen wählen können, aus dem der Inhalt besser hervorgeht; etwa so:

SETZE "T36 [123469121836] (Teiler von 36)

Wir wollen jetzt ein Programm schreiben, mit der wir solche Teilerlisten automatisch herstellen können:

PR TEILER :N

LOKAL "L

SETZE "L [] LOKAL "T

SETZE "T ı SCHLEIFENANFANG:

WENN TEILT? :T :N DANN SETZE "L MITLETZTEM :T :L SETZE "T :T+1

WENN :T > :N DANN RUECKGABE :L

GEHE "SCHLEIFENANFANG

ENDE

TEILER 6 ERGEBNIS: [1236]

TEILER 210 ERGEBNIS: [123576 10 14 15 21 30 35 42 70 105 210 ]

Erläuterungen zur Prozedur TEILER: Der Unterschied zur Prozedur TEI- LER.AUSDRUCK besteht darin, daß die einzelnen Teiler nicht mehr ausgedruckt,

52

sondern in der Liste L gespeichert werden. Zunächst wird durch den Befehl SETZE "L [] dafür gesorgt, daß die Liste :L leer ist. Durch den Befehl

SETZE "L MITLETZTEM :T :L wird der Teiler :T als letztes Element in die Liste :L eingefügt.

Die folgende Tabelle zeigt am Beispiel :N = 6, wie sich die Variablen T und L beim Lauf der Funktion TEILER in den einzelnen Schleifendurchläufen verändern:

Schleifen- ! Wert von T ! Wert von L durchlauf ! vorher nachher ! vorher nachher 1 | 1 2 I £E3 E #3 2 | 2 3 a u rı27 3 ! 3 4 i F 52% 228 ] 4 ! 4 5 ı 7 1237 EEE 5 ! 5 6 E121.28] ı82®3]j 6 6 7 ii ft E23] 2:23: % 7 mn Rückgabewert der Funktion TEILER

Tabelle 3.2

Der letzte Wert von L wird als Funktionswert der Prozedur TEILER zurückgegeben. TEILER ist also im Gegensatz zu TEILER.AUSDRUCK eine Funktion und nicht nur eine Prozedur. Da die Variablen T und L als lokale Variable definiert waren, sind sie mit Ablauf der Funktion TEILER wieder gelöscht. Das einzige Ergebnis, welches dieser Lauf produziert hat, ist der Funktionswert der Funktion TEILER, den man auf verschiedene Weise weiterverarbeiten kann. Man kann zum Beispiel die Anzahl der Teiler bestimmen. Hierfür ist der Grundbefehl LAENGE nützlich, der die Elementezahl einer Liste zurückgibt.

LAENGE [ A BC DEF] ERGEBNIS: 3

LAENGE [12345 [678910] ] ERGEBNIS: 6

LAENGE [] ERGEBNIS: 0

LAENGE TEILER 50 ERGEBNIS: 10

Bei dem letzten Aufruf ermittelte Logo zunächst den Wert von TEILER 80, also [1245810 16 20 40 80 ], und bestimmte dann die Länge dieser Liste.

Aufgabe 3.4: Schreibe eine Funktion TEILERZAHL.

Aufgabe 3.5: Experimentiere mit dem Aufruf LAENGE :W, wobei :W ein Logo- Wort ist; probiere LAENGE "DONAUDAMPFSCHIFFAHRTSKAPITAENSPATENT

53

Aufgabe 3.6: (Nur zur Demonstration)

Entferne die Zeile LOKAL "L in der Funktion TEILER und teste nach Ablauf der Prozedur den Befehl WERT "L (bzw. :L). Füge die Zeile nach dem Test wieder ein.

Hinweis; Es gibt eine noch elegantere Methode, Zeilen gelegentlich "kaltzustellen", Wenn irgendwo in einer Prozedurzeile ein Semikolon ("Strichpunkt") steht, wertet Logo den Rest der Zeile als Kommentar, der nicht auszuführen ist. Um eine Zeile kurzfristig auszuschalten, braucht man nur am Zeilenanfang ein Semikolon zu tip- pen, das sich später auch leicht wieder entfernen läßt.

Wie wir schon von der Prozedur TEILER.AUSDRUCK her wissen, können wir den Lauf der Funktion TEILER stark beschleunigen, indem wir mit jedem Teiler auch gleich seinen Partner abspeichern. Wir brauchen dann nur noch die Zahlen bis zur (Quadrat-) Wurzel von :N zu testen. Bei :N = 1000 brauchen wir nur 31 (anstatt 1000); bei :N = 1 000 000 nur 1000 (anstatt I 000 000) Zahlen zu untersuchen. Je größer :N wird, desto mehr sparen wir ein!

PR TEILER.SCHNELLER :N

LOKAL "L

SETZE "L [] LOKAL "T

SETZE "T ı SCHLEIFENANFANG:

WENN TEILT? er :N DANN

( SETZE "L MITLETZTEM LE Ti 3

(0 SETZE "L MITLETZTEM (DIV :N :T) :L) SETZE "T ;T+1

WENN :T #* :T > :N DANN RUECKGABE :L

GEHE "SCHLEIFENANFANG

ENDE

Erläuterungen zur Prozedur TEILER.SCHNELLER. Zunächst sei daran erinnert, daß durch das Unterstreichungszeichen mehrere optische Zeilen zu einer logischen Zeile zusammengefaßt werden (siehe Prozedur: TEILT?.UMSTAENDLICH).

Die runden Klammern dienen in dieser Prozedur nur der optischen Zusammenfas- sung von Teilbefehlen. Im obigen Beispiel wären sie eigentlich entbehrlich. Logo würde die Prozedur ohne Klammern genau so ausführen wie mit den Klammern. Auch in Zukunkft wollen wir der besseren Lesbarkeit halber reichlich Klammern setzen. In Zweifelsfällen ist es immer ratsam, Klammern zu verwenden.

Einige Probeläufe unserer schnelleren Prozedur ergeben:

TEILER.SCHNELLER 9 ERGEBNIS: [1922464 23]

TEILER.SCHNELLER 36 ERGEBNIS: [13621831266]

Es kann passieren, daß ein Teiler gleich seinem Partner ist.

Aufgabe 3.7: Welche Zahlen haben die Eigenschaft, daß einer ihrer Teiler gleich seinem Partner ist?

54

In solchen Fällen dürfen wir nur den Teiler, nicht aber den Partner abspeichern! Dies wollen wir eben noch korrigieren. Wir müssen also der bisherigen Teilerliste entweder den neuen Teiler mit seinem Partner oder nur den neuen Teiler hinzufü- gen. Damit die Teiler-Prozedur nicht zu sehr durch die notwendigen Fallunter- scheidungen aufgebläht wird, schreiben wir am besten eine Hilfsfunktion, dıe uns genau die richtige Ergänzung liefert.

PR NEUE.TEILER :T :N WENN :T * :T = :N DANN RUECKGABE ( LISTE :T ) RUECKGABE ( LISTE :T (DIV :N :T))

ENDE

Erläuterungen zur Prozedur NEUE.TEILER: Der Logo-Grundbefehl LISTE akzep- tiert eine unterschiedliche Anzahl von Eingabeobjekten, die er alle zu einer Liste zusammenfügt (siehe Kapitel 2, Abschnitt 2.7). Hier noch einige Beispiele aus der Teilbarkeitslehre im Direktbetrieb:

BEIZE "A 2 SETZE "B 12

(LSTE:A ) ERGEBNIS: [2]

ULISTE :A (DIV B:A) ) ERGEBNIS: [26]

Aufgabe 3.8: Begründe, daß die Zahlen :T und DIV :N :T genau dann zusam- menfallen, wenn :T*:T=:N ist.

Hier nun die verbesserte Version der schnelleren TEILER-Prozedur:

1: PR TEILER.SCHNELLER.VERBESSERT :N

2: LOKAL "L SETZE "!"L [)

3 LOKAL "T SETZE "T 1

4 SCHLEIFENANFANG:

5: WENN TEILT? :T :N DANN -

6: __. SETZE "L ( SATZ :L NEUE.TEILER :T :N) 7: SEZE "T :ıD +1

8: WENN :T* :T> :N DANN RUECKGABE :L

9: GEHE "SCHLEIFENANFANG

10: ENDE

Zunächst überprüfen wir, ob es tatsächlich klappt:

TEILER.SCHNELLER.VERBESSERT 81 ERGEBNIS: [1813279]

TEILER.SCHNELLER.VERBESSERT |] ERGEBNIS: [1]

TEILER.SCHNELLER.VERBESSERT 56 ERGEBNIS: [15622841478]

Erläuterungen zur Prozedur TEILER.SCHNELLER.VERBESSERT. Die zweite und dritte Zeile zeigen, daß man auch mehrere Anweisungen in eine Zeile schreiben

55

kann. Der Logo-Grundbefehl SATZ (siehe Kapitel 2, Abschnitt 2.7) fügt zwei Listen zu einer Gesamtliste zusammen. Durch die Anweisung (Zeile 6):

SETZE ’L CSATZ :L NEUE/-TEILER :T :N) wird der alte Inhalt der Liste L mit dem Ergebnis des Aufrufs NEUE.TEILER :T :N "verschmolzen".

Aufgabe 3.9: Schreibe eine "Kosmetik-"Prozedur des Namens TEILER.TA- BELLE.IM.SCHOENDRUCK, mit der die bisherigen Teiler-Listen im "Schöndruck" ausgedruckt werden können. Der Aufruf TEILER.TABELLE.IM.SCHOENDRUCK 2310 soll etwa den folgenden Ausdruck zur Folge haben:

DIE TEILER DER ZAHL: 2310

TEILER PARTNER 1 2310 2 1155 3 770 5 462 6 385 7 330

10 231 il 210 14 165 15 154 21 110 22 105 30 77 33 70 35 66 42 55

Tabelle 3.3

Aufgabe 3.10: Schreibe eine Funktion TEILERLISTE, die zwar die "Partner-Me- thode" verwendet, die Teiler aber in einer der Größe nach geordneten Liste ausgibt; zum Beispiel:

TEILERLISTE 536

ERGEBNIS: [12478142856] (Hinweis: Das geht in diesem Fall auf direktem Weg - ohne zu sortieren.)

Aufgabe 3.11: Schreibe alle bisherigen Prozeduren dieses Kapitels, in denen der GEHE-Befehl vorkommt in endrekursive Prozeduren um. Hinweis: die endrekursi- ven Versionen sollten sich zu den "Sprung"-Versionen etwa so verhalten, wie die Prozedur SCHACHTABELLE.ER.V?2 zur Prozedur SCHACHTABELLE.SPRUNG in Kapitel 2.

Wenn man keinen Computer hat, dann kann man Teilbarkeitstests auch mit Hilfe spezieller Teilbarkeitsregeln durchführen. Im folgenden sind einige dieser Regeln wiedergegeben. Sie gelten natürlich für die übliche Schreibweise im Zehnersystem. (Beachte dabei, daß die Zahl 0 durch jede Zahl teilbar ist).

Zweier-Regel: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

56

Dreier-Regel: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Die Quersumme einer Zahl ist einfach die Summe ihrer Ziffern. Die Quersumme der Zahl 72325 ist zum Beispiel 19.

Fünfer-Regel: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist.

Neuner-Regel: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist,

Elfer-Regel: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Die alternierende Quersumme einer Zahl erhält man, wenn man die Ziffern der Zahl von rechts nach links abwechselnd mit negativem und positivem Vorzeichen aufsummiert, Alle Ziffern an den ungeraden Stellen (von rechts gezählt) werden subtrahiert, die an der geraden Stellen werden addiert. Dies wird am besten durch ein Beispiel deutlich. Die alternierende Quersumme der Zahl 82837293 wird so be- rechnet:

(-3) +9 +(-2)+7 +(-3)+8+(-2)+8 = 22

Da die Zahl 22 durch 11 teilbar ist, folgt aus der Elfer-Regel, daß auch 82837293 durch 11 teilbar ist. Tatsächlich ist 82837293 = 11 * 7530663.

Wir wollen im folgenden einmal die Funktion QUERSUMME als Logo-Funktion schreiben. Da die eingegebenen Zahlen kaum mehr als 50 Ziffern haben dürften, können wir uns hier einmal den Luxus einer voll rekursiven Funktion leisten, ohne daß sie andauernd den Speicher zum Überlaufen bringt.

PR QUERSUMME :N

WENN LEER? :N DANN RUECKGABE 0

RUECKGABE ( ERSTES :N ) + QUERSUMME OHNEERSTES :N ENDE

Erläuterungen zur Prozedur QUERSUMME: Die Logo-Grundfunktionen LEER?, ERSTES und OHNEERSTES sind sowohl auf Wörter als auch auf Listen anwendbar (siehe Kapitel 1, Abschnitt 1.7 und Kapitel 2, Abschnitt 2.7). Da Logo auch Zahlen als Wörter auffasst, können diese Funktionen auch auf Zahlen angewandt werden. Hierzu noch einige Beispiele im Direktbetrieb:

ERSTES 739 ERGEBNIS: 7

OHNEERSTES 4711 ERGEBNIS: 711

Beachte die folgenden Beispiele genau!

ERSTES 1999999999 (9 Neuner) ERGEBNIS: |

ERSTES 19999999999 (10 Neuner) ERGEBNIS: 2

57

Was ist hier passiert? Erinnerst du dich an das, was in Kapitel I zu den in Logo verfügbaren Zahlen gesagt wurde? Dann weißt du auch, daß die Zahl 19999999999 den Bereich der in Logo zugelassenen ganzen Zahlen überschreitet. Diese Zahl wird unmittelbar nach ihrer Eingabe in das Gleitkommaformat umgesetzt. Aber dieses Format verfügt nur über sechs gültige Ziffern. Also wird die eingegebene Zahl durch die am nächsten liegende Gleitkommazahl ersetzt. Dies ist die Zahl 2EI0. Die Funktion ERSTES, angewandt auf 2E10, liefert nun das Ergebnis 2. Hübsch häßlich, nicht wahr?

Es gibt aber teilweise eine Rettung in Logo. Man kann Zahlen auch "zwangsweise" als Wörter (Zeichenketten) eingeben. Wie bei Wörtern üblich, muß man ihnen dann ein Anführungszeichen voranstellen. Wenn wir das tun, dann liefert die Funktion ERSTES immer das richtige Ergebnis.

ERSTES "8273 ERGEBNIS: 8

ERSTES "19999999999 (10 Neuner) ERGEBNIS: 1

Man kann sogar mit "gequoteten" Zahlen rechnen:

I er) ERGEBNIS: 5

Die Leerstellen vor und nach dem Additionszeichen sind in diesem Beispiel sehr wichtig! Probiere:

ee ERGEBNIS: 2+"3

Hier wurde die Eingabe von Logo nicht als ein Rechenausdruck erkannt, sondern als das vierstellige Wort 2+"3. Und wenn im Direktbetrieb ein Wort eingegeben wird, dann gibt Logo das Wort unverändert als Ergebnis zurück; zum Beispiel:

"ABCD ERGEBNIS: ABCD

Auch folgendes ist noch möglich:

QW "25 ERGEBNIS: 5

Es wäre aber ein Irrtum anzunehmen, daß man mit dieser "Wort-Arithmetik" von Logo die Beschränkungen im ganzzahligen Bereiche überwunden hätte. Wenn man Zahlen, die den Ganzzahlbereich überschreiten, als Worte eingibt und mit ihnen rechnet, dann überführt Logo diese Zahlen trotz der Anführungszeichen in Gleit- kommazahlen. Ein Beispiel:

"123456789101112 + "12111098765432]1 ERGEBNIS: 2.44567E14

Zurück zur Funktion QUERSUMME. Zum Verständnis derartiger voll rekursiver

Funktionen kann der Protokoll-Modus sehr hilfreich sein. Um dies besser verfolgen zu können, wollen wir die Kurzversionen der Logo-Grundwörter verwenden; also

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ER an Stelle von ERSTES, OE an Stelle von OHNEERSTES und RG an Stelle von RUECKGABE. Auf das DANN verzichten wir ganz.

Aufgabe 3.12: Verändere die Prozedur QUERSUMME im Editor so, daß die Kurzformen der Logo-Grundwörter verwendet werden und streiche das Grundwort DANN ganz.

Probiere nun folgendes und ähnliche Beispiele aus:

PE QUERSUMME "8357 AUFRUF--- QUERSUMME 8357

WENN LEER? :N RG OÖ RG ( ER :N ) + QUERSUMME OE :N AUFRUF--- QUERSUMME 357 WENN LEER? :N RG 0 RG ( ER :N ) + QUERSUMME OE :N AUFRUF--- QUERSUMME 57 WENN LEER? :N RG 0 RG ( ER :N ) + QUERSUMME OE :N AUFRUF--- QUERSUMME 7 WENN LEER? :N RG 0 RG ( ER :N ) + QUERSUMME OE :N AUFRUF--- QUERSUMME (Eingabe: <leeres Wort>) WENN LEER? :N RG OÖ RUECKG.: 0 FERTIG QUERSUMME RUECKG.: 7 FERTIG QUERSUMME RUECKG.: 12 FERTIG QUERSUMME RUECKG.: 15 FERTIG QUERSUMME RUECKG.: 23 FERTIG QUERSUMME ERGEBNIS: 23

In mathematischer Darstellungsform könnte man diesen Protokoll-Lauf folgender- maßen lesen:

QUERSUMME 8357

= 8 + ( QUERSUMME 357 )

= 8+ (3 + ( QUERSUME 57 ) )

= 8+(3+X(5+ ( QUERSUIME 7) ) )

= 8+(3+1(5+ (7 + ( QUERSUMME <leeres Wort> )))) = 8+(3+(5+(7+0)))

= 8+(3+(5+7))

= 8+(3+12)

= 8+15

= 23

Die dritte Zeile in der Funktion QUERSUMME ist ein wichtiges Beispiel für die Verwendung von Klammern. Wenn wir diese Klammern weglassen, dann erhalten wir falsche Ergebnisse; zum Beispiel:

59

QUERSUMME 69 ERGEBNIS: 7

Der Unterschied ergibt sich daraus, daß die Addition stärker bindet als die Funktionsauswertung. ‘ Im Falle des Aufrufs ERSTES 253 + 698 wird zuerst die Summe von 253 und 698 (also 951) berechnet und von dieser Summe dann das erste Zeichen genommen. Das Ergebnis lautet also 9.

Das mathematische Protokoll sähe in diesem Fall folgendermaßen aus. Um deutli- cher zu machen, was zuerst berechnet wird, setzten wir reichlich Klammern.

QUERSUMME 69 ER ( 69 + QUERSUMME 9 )

= ER ( 69 + ( ER ( 9 + QUERSUMME <leeres Wort> ) ) ) = ER(69+(ER(93+0)))

= ER(69 + (ER9))

= ER(69 +3)

= ER(78)

= 7

Aufgabe 3.13: Editiere die Funktion QUERSUMME und entferne die Klammern. Führe danach Tests wie den eben gezeigten durch. Korrigiere QUERSUMME hin- terher wieder.

Die Quersumme einer Zahl kann manchmal auch noch ziemlich groß sein.

QUERSUMME "9876543210012345678998765432100123456789987654321 ERGEBNIS: 225

Wir können diese Ergebnis natürlich noch einmal in die Quersummen-Funktion einspeisen und erhalten dann die Quersumme der Quersumme:

QUERSUMME Bu QUERSUMME "9876543210012345678998765432100123456789987654321 ERGEBNIS: 9

Aufgabe 3.14: Schreibe je eine endrekursive und eine "Sprung"-Version der Quer- summen-Funktion.

Aufgabe 3.15: Schreibe eine Funktion ITERIERTE.QUERSUMME, welche die Quersummenbildung so lange wiederholt, bis eine einstellige Zahl herauskommt.

Aufgabe 3.16: Schreibe eine Funktion ALTERNIERENDE.QUERSUMME.

Aufgabe 3.17: Schreibe eine Funktion ITERIERTE.ALTERNIERENDE.QUER- SUMME.

Aufgabe 3.18: (Ein vergleichsweise anspruchsvolles Projekt)

Schreibe Funktionen WORTADDITION, WORTMULTIPLIKATION, WORTSUB- TRAKTION und WORTDIVISION, die es erlauben, beliebig lange als Wörter einge- gebene (d.h. gequotete) ganze Zahlen exakt zu verarbeiten.

Aufgabe 3.19: Schreibe eine Funktion TEILERSUMME !N, die alle Teiler einer

Zahl aufsummiert; zum Beispiel: TEILERSUMME 12 = 1+2+3+4+46+12 = 28

60

Aufgabe 3.20: Die Teilersumme einer von | verschiedenen Zahl a ist natürlich ım- mer größer als die Zahl a selbst. Denn a gehört ja zu seinen Teilern, und es gibt noch weitere Teiler.

(a) Suche Zahlen a, für die gil: Teilersumme vona < 2*a (b) Suche Zahlen b, für die gilt: Teilersumme vonb > 2*b (c) Suche Zahlen c, für die gilt: Teilersumme vonce = 2*c

Die in (c) beschriebenen Zahlen heißen vollkommene Zahlen (perfekte Zahlen). Die Zahl 6 ist zum Beispiel eine vollkommene Zahl.

Aufgabe 3.21: Manche der in diesem Abschnitt geschriebenen Prozeduren liegen in verschiedenen Versionen vor. Führe einige systematische Tests zu ihrem Laufzeit- verhalten durch. Entscheide dich, welche du davon als "Arbeitsversionen" behalten willst. Gib ihnen "griffige" Namen und speichere sie in einer Datei unter dem Na- men TEILBARKEIT ab. Du mußt dabei die folgenden Schritte ausführen:

(1) Speichere zunächst zur Sicherheit alles unter dem Namen HILFSDATEI ab; der entsprechende Logo-Befehl lautet:

BEWAHRE "HILFSDATEI

Der Dateiname, hier HILFSDATEI, muß vorn mit Anführungszeichen versehen (gequotet) werden.

(2) Lösche alle globalen Namen mit Hilfe des Befehls VERGISS NAMEN.

(3) Lösche alle Prozeduren, die nicht in die Bibliothek aufgenommen werden sollen, mit Hilfe des VERGISS Befehls. Hier ein Beispiel:

VERGISS TEILT?.UMSTAENDLICH

(Beachte, daß der Prozedurname nicht gequotet, also nicht mit einem Anführungs- zeichen versehen wird).

(4) Gib den Arbeits-Prozeduren, die in die Bibliothek kommen sollen, griffige, prägnante Namen. Du kannst dies tun, in dem du die Prozedur, deren Namen du abändern willst, einfach noch einmal editierst und im Editor mit dem neuen Namen versiehst. Beachte aber, daß dies "stimmig" sein muß. Auch in anderen Prozeduren, welche die nun veränderte Prozedur aufgerufen haben, muß der Prozedurname ent- sprechend geändert werden. Dies gilt insbesondere auch für rekursive Aufrufe. Verlasse den Editor jeweils mit der RUN/STOP-Taste, so daß die Prozedur unter dem neuen Namen gelernt wird. Die betreffende Prozedur kommt jetzt zweimal vor: einmal unter dem alten und einmal unter dem neuen Namen.

(5) Lösche die Prozedur unter dem alten Namen so, wie es in Schritt (3) beschrieben wurde.

(6) Teste die verbleibenden Arbeitsprozeduren nochmals aus, bis sie in Ordnung sind.

(7) Speichere die Arbeits-Prozeduren mit Hilfe des Befehls BEWAHRE "TEILBARKEIT

auf Diskette.

61

(8) Deine Arbeit ist zu wichtig, als daß du das Risiko eingehen solltest, sie durch eine Unachtsamkeit oder durch einen Zufall zu verlieren. Einzelne Dateien oder ganze Disketten können durch kleine Bedienungsfehler gelöscht oder überschrieben werden, Disketten können Fehler in der Magnetisierung aufweisen oder in streuende Magnetfelder geraten, sie können geknickt oder von Katzen angefressen werden. Speichere deshalb die Datei TEILBARKEIT nochmals auf einer zweiten Sicherheits- diskette ab. Wenn eine der beiden Versionen zerstört werden sollte, dann stelle so- fort wieder eine neue Sicherheitskopie her.

(9) Keine Panik, wenn du bei einem der obigen Schritte etwas falsch gemacht hast, Du sagst dann einfach ADE und danach

LADE "HILFSDATEI

und der Ausgangszustand vor Schritt (1) ist wieder hergestellt.

Nur keine Angst; das gesamte Verfahren ist weniger aufwendig, als es vielleicht auf den ersten Blick aussieht. Du wirst dich an derartige Vorgehensweisen schnell ge- wöhnen.

(10) Außer vielleicht zu Demonstrationszwecken sind die Prozeduren in der HILFS- DATEI jetzt überflüssig. Wenn du glaubst, daß du sie nicht mehr brauchst, dann kannst du die HILFSDATEI mit Hilfe des Befehls

VERGISSDATEI "HILFSDATEI

löschen. Sie ist dann aber unwiederbringlich verloren.

3.2 Vielfache

Wer Teiler sagt, muß auch Fielfache sagen. Jede Zahl hat nur endlich viele Teiler, aber unendlich viele Vielfache. Wir können also nie alle Vielfachen einer Zahl ab- speichern oder auch nur ausdrucken.

Die folgende Prozedur druckt die Vielfachen von :A aus, ohne aufzuhören. Man muß sie mit dem Kommando Control-G (CTRL-G) unterbrechen.

PR VIELFACHE.AUSDRUCK :A VIELFACHE.AUSDRUCK.HP 1 :A ENDE

PR VIELFACHE.AUSDRUCK.HP :I :A ( DRUCKEZEILE :I :I*:A ) VIELFACHE.AUSDRUCK.HP (:I+l1) :A

ENDE VIELFACHE.AUSDRUCK 17 1 12 2 34 3 31

4 68

62

Erläuterungen zur Prozedur VIELFACHE.AUSDRUCK: Sie dient nur dazu, um das eigentliche "Arbeitspferd", die Prozedur VIELFACHE.AUSDRUCK.HP, mit den richtigen Anfangswerten aufzurufen. Die Hilfsvariable I stellt einen Zähler dar, der uns angıbt, mit welchem Vielfachen wir es gerade zu tun haben, :A ist die Aus- gangszahl, deren Vielfache ausgedruckt werden. Bei jedem rekursiven Aufruf wird der Wert von I um 1 erhöht; der Wert von A bleibt natürlich unverändert. (Der Parameter :A darf beim rekursiven Aufruf aber nicht einfach weggelassen werden, da sonst die Anzahl der Eingabeparameter nicht stimmen würde).

Aufgabe 3.22: Schreibe eine "Sprung"-Version der obigen Prozedur. Wenn man die Vielfachen weiterverarbeiten will, dann muß man sie abspeichern:

zum Beispiel in einer Liste. Es wird jetzt unumgänglich, daß wir einen Wert :OBERGRENZE eingeben, bis zu dem die Vielfachen gesammelt werden.

1: PR VIELFACHE :A :OBERGRENZE

ei LOKAL "VL

> $- SETZE "VL (€ LISTE :A)

4: LORAL "WV

n5- SETZE "V :A

6: MARKIERUNGI:

ri SEIZE "iO SE + EA

8: WENN :V > :OBERGRENZE DANN RUECKGABE :VL 9: SETZE "VL ( MITLETZTEM :V :VL) 10: GEHE "MARKIERUNGI1 11: ENDE

VIELFACHE 19 200 ERGEBNIS: [ 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 ]

VIELFACHE 23 276 ERGEBNIS: [ 23 46 69 92 115 138 161 184 207 230 253 276 ]

Erläuterungen zur Prozedur VIELFACHE: Die Zeilennummern gehören nicht zur Funktion, sondern dienen nur dazu, die einzelnen Zeilen für die Erläuterungen bes- ser "dingfest" zu machen. Zunächst wird der Name VL für eine Hilfsliste einge- führt. Die Liste :VL wird in Zeile 3 zunächst mit der Zahl :A bestückt. Die Va- riable V steht für Vielfache, In Zeile 5 erhält sie den Wert :A zugewiesen: in Zeile 7 wird ihr augenblicklicher Wert jeweils um :A erhöht. Dies bedeutet, daß wir zum nächsten Vielfachen von :A übergehen. In Zeile 9 wird der Variablen VL der Wert des Aufrufs MITLETZTEM :V :VL zugewiesen. Dabei wird der aktuelle Wert von V als letztes Element in die bisherige Liste VL eingefügt. Die Klammern sind eigentlich überflüssig; sie dienen nur der optischen Gruppierung der Befehlsfolge.

Aufgabe 3.23: Schreibe eine endrekursive Version der Funktion VIELFACHE. Aufgabe 3.24: Wir wollen jetzt unsere Datei TEILBARKEIT aus dem vorigen Ab- schnitt durch die neuen Prozeduren erweitern. Du kannst dich dabei stark an die Vorgehensweise in Aufgabe 3.21 anlehnen. Hier nur die wichtigsten Schritte.

(1) Speichere zunächst sicherheitshalber alles ab; etwa durch den Befehl

BEWAHRE "HILFSDATEI

(2) Bereinige den Zustand der Arbeitsumgebung (die Arbeitsumgebung ist alles das, was Logo auf den Befehl ZEIGE ALLES ausdruckt) folgendermaßen:

63

* Lösche, falls vorhanden, alle globalen Namen.

* Lösche alle überflüssigen Prozeduren.

* Gib den verbleibenden Prozeduren griffige Namen. (Achte darauf, daß keiner der neuen Prozedurnamen mit einem Namen der bisherigen Teilbarkeits-Datei zusammenfällt).

(3) Lade die alte Teilbarkeits-Datei mit dem Kommando

LADE "TEILBARKEIT

(Falls alte Prozedurnamen aus dieser Datei mit den Prozedurnamen der neuen im Arbeitsspeicher befindlichen Prozeduren zusammenfallen würden, würden die neuen

Prozeduren beim Laden durch die alten Prozeduren überschrieben und wären verlo- ren).

(4) Schaue dir sicherheitshalber die erweiterte Teilbarkeitsumgebung mit Hilfe des Befehls

ZEIGE ALLES

an. Korrigiere den Stand, falls notwendig.

(5) Speichere die neue Teilbarkeitsumgebung unter dem Namen TEILBARKEII ab. Die alte Datei desselben Namens wird dabei überschrieben. (Du kannst das Über- schreiben der alten Version vermeiden, indem du der neuen Version einen anderen Namen gibst).

(6) Lege eine Sicherheitskopie der Teilbarkeits-Bibliothek an.

(7) Lösche unter Umständen die zunächst aus Sicherheitsgründen angelegte HILFS- DATEI.

3.3 Primzahlen

Manche Zahlen haben ziemlich wenige Teiler. Wir finden einige davon mit Hilfe der TEILER-Funktion aus Abschnitt 3.1,

TEILER 2 ERGEBNIS: [12]

TEILER 3 ERGEBNIS: [13]

TEILER 5 ERGEBNIS: [15]

TEILER 17 ERGEBNIS: [117]

TEILER 59 ERGEBNIS: [159]

TEILER 509 ERGEBNIS: [ 1509 ]

64

Jede natürliche Zahl (außer 1) hat mindestens zwei Teiler, nämlich dıe Zahl I und sich selbst. Zahlen, welche nur diese beiden "trivialen" Teiler besitzen, heißen Primzahlen. (Die Zahl 1 wird nicht zu den Primzahlen gerechnet, obwohl sie auch nur triviale Teiler hat). Primzahlen sind die Bausteine aller Zahlen. Jede von | verschiedene natürliche Zahl ist nämlich in ein Produkt von Primzahlen zerlegbar; zum Beispiel 45 = 3 * 3 * 5, Nur die Primzahlen selbst sind nicht weiter in Fak- toren zerlegbar.

Die Grund-Funktion LAENGE und die selbstgeschriebene Funktion TEILER er- möglichen den folgenden Primzahltest:

PR PRIMZAHL? :A RUECKGABE ( LAENGE TEILER :A) =2 ENDE

PRIMZAHL? 7 ERGEBNIS: WAHR

PRIMZAHL? 15 ERGEBNIS: FALSCH

Aufgabe 3.25: Schreibe die Funktion PRIMZAHL? so um, daß sie auf die Funktion TEILERZAHL zurückgreift (siehe Aufgabe 3.4).

Aufgabe 3.26: Die Prüf-Funktion PRIMZAHL? tut zwar, was von ihr erwartet wird; aber es ist doch ziemlich aufwendig, zuerst die gesamte Teilermenge einer Zahl zu bestimmen, um entscheiden zu können, ob es sich um eine Primzahl han- delt. Schreibe eine Prüffunktion PRIM?, mit welcher auf direktem Wege getestet werden kann, ob der Eingabewert eine Primzahl ist. (Hinweis: Überprüfe die Teil- barkeit durch 2 gesondert; starte mit dem Anfangswert 3 für die Testvariable; gehe in Zweierschritten vorwärts; beende den Test spätestens bei der Quadratwurzel von N).

Beispiel: Die Zahl 1034971 ist durch 7 teilbar und somit keine Primzahl. Mit dem soeben beschriebenen Test findet man das sehr schnell heraus. Denn 7 ist bereits die vierte Testzahl nach 2, 3 und 5. Die Ermittlung aller Teiler und die Bestim- mung der Teilerzahl dauern dagegen erheblich länger.

Aufgabe 3.27: Schreibe eine Funktion KLEINSTER.PRIMTEILER :N, die als Funktionswert den kleinsten Primteiler der Zahl :N liefert. (Der kleinste Primteiler ist natürlich der kleinste Teiler, der zugleich eine Primzahl ist). Beachte, daß die Zahl 0 überhaupt keinen Primteiler besitzt und daß der kleinste Primteiler einer Primzahl die Primzahl selbst ist.

Mit Hilfe dieser Funktion können wir leicht eine Funktion zur Primfaktorzerlegung einer Zahl schreiben:

65

PR PRIMFAKTORZERLEGUNG :N WENN :N < 2 DRUCKEZEILE [ EXISTIERT NICHT ] AUSSTIEG LOKAL "L SETZE "L []

LOKAL "T

SCHLEIFENBEGINN:

WENN :N = 1 DANN RUECKGABE :L SETZE "T KLEINSTER.PRIMTEILER :N SETZE "L MITLETZTEM :T :L SETZE "N DIV :N :T

GEHE "SCHLEIFENBEGINN ENDE

Ein Beispiel:

PRIMFAKTORZERLEGUNG 300300 ERGEBNE: [ 223397141 137

Es ist also 30000 =2 "2*73*5*5*7*1] *]13,

Erläuterung der Prozedur PRIMFAKTORZERLEGUNG: Zunächst zur Erinnerung: Ist der Eingabewert von DRUCKE bzw. DRUCKEZEILE eine Liste, so druckt Logo die einzelnen Listenelemente, läßt aber die äußersten Listenklammern weg (siehe Kapitel 1, Abschnitt 1.8). Dies erleichtert das Schreiben von Dialogprogram- men. Das Grundwort AUSSTIEG bewirkt, daß Logo seine gesamte Arbeit abbricht und in den Direktbetrieb zurückkehrt. Die Verwendung von AUSSTIEG ist meist unvermeidlich, wenn irgendein irreparabler Fehler angetroffen wurde. Im obigen Fall wurde es als Fehler angesehen, daß die Primfaktorzerlegung von einer (natürlichen) Zahl verlangt wurde, die kleiner als 2 ist. Die Zeile

WENN :N <2 DRUCKEZEILE [ EXISTIERT NICHT ] AUSSTIEG

ist wieder ein Beispiel dafür, daß man das Grundwort DANN eigentlich nicht benö- tigt. Es dient nur der besseren Lesbarkeit. Solche Grundwörter bezeichnet man auch als "syntaktischen Zucker". Man hätte auf diese Zeile auch ganz verzichten können. Allerdings hätte dann an Stelle von

WENN :N=1 DANN RUECKGABE :L dıe folgende Bedingung formuliert werden müssen: WENN :N<2 DANN RUECKGABE :L

Der Aufruf PRIMFAKTORZERLEGUNG O0 bzw. PRIMFAKTORZER- LEGUNG 1 hätte dann als Ergebnis jeweils die leere Liste gehabt.

Aufgabe 3.28: Ändere die Prozedur PRIMFAKTORZERLEGUNG so ab, daß für :N=0 und :N= | keine Fehlermeldung ausgedruckt, sondern die leere Liste als Ergebnis zurückgegeben wird.

Zum Experimentieren ist es manchmal günstig, wenn man für eine Prozedur, die einen langen Namen hat, eine Version mit Kurznamen schreibt. Dazu sollte man aber nicht noch einmal die gesamte Prozedur mit dem langen Namen kopieren, son- dern nur einen Aufruf für die Prozedur mit dem langen Namen schreiben. Eine Kurzform der Prozedur PRIMFAKTORZERLEGUNG könnte so aussehen:

66

PR PFZ :N RUECKGABE PRIMFAKTORZERLEGUNG :N ENDE

Aufgabe 3.29: Schreibe entsprechende Kurzformen für die anderen Prozeduren dieses Kapitels; zum Beispiel: KPT an Stelle von KLEINSTER.PRIMTEILER, usw.

Die Primzahlen sind einer der ältesten und interessantesten Untersuchungsgegen- stände der Mathematik. Schon im Altertum war man bestrebt, einen möglichst guten Überblick über die Primzahlen zu gewinnen. Der griechische Mathematiker Eratosthenes von Kyrene (etwa 276 - 195 v.Chr.) gab das folgende Verfahren an, um

alle Primzahlen bis zu einer bestimmten vorgegebenen Zahl n zu bestimmen. Es sei hier am Beispiel n = 20 erläutert.

(1) Schreibe alle Zahlen von I bis 20 auf:

123456789 10 ıl 12 13 14 15 16 17 183 19 20 (2) Streiche die Zahl 1.

#232 56:73% 0 1 2% 13 14 13 16 17 18 9 2 (3) Unterstreiche die Zahl 2.

X*23456789 10 Il 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(4) Streiche alle echten Vielfachen von 2; also die Zahlen 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 und 20,

2356789 X 1 2 3 Mı5 6 17 8 19 %

(5) Unterstreiche die erste freie (d.h. noch nicht unterstrichene oder gestrichene) Zahl; in diesem Fall also die Zahl 3.

XK23A58E 739 Wıı 2 3 US KIT E WA

(6) Streiche alle echten Vielfachen von 3; also die Zahlen 6, 9, 12, 15 und 13, Wenn dabei eine schon durchgestrichene Zahl nochmals durchgestrichen wird (wie zum Beispiel die Zahl 6), so macht das nichts,

12345133 Wıı ZB My KT WX

(7) Unterstreiche die nächste freie Zahl; in diesem Fall also die Zahl 5.

123A5S8 173 IWı KB UK ıT E19 X

(8) Streiche alle echten Vielfachen der Zahl 5; also die Zahlen 10, 15 und 20.

K23A5S81ı39 WE ı YB UK KT KW ZA

(9) Setze das Verfahren so lange fort, bis jede der Zahlen entweder unterstrichen oder durchgestrichen ist.

K23A5SSı18 I KU U B ME K IT KW

67

(10) Ende des Verfahrens. Die unterstrichenen Zahlen sind die Primzahlen zwischen l und 20:

3:33 4 3127139

Durch dieses Verfahren werden also genau die Primzahlen "ausgesiebt". Man nennt das Verfahren deshalb auch das Sieb des Eratosthenes.

Aufgabe 3.30: Gib eine allgemeine Beschreibung des Siebverfahrens, die von der Zahl 20 unabhängig ist.

Aufgabe 3.31: Schritt Nr. (9) im obigen Verfahren ist etwas umständlich. Im Grunde genommen sind wir schon nach Schritt Nr, (8) fertig gewesen. Schreibe das Siebverfahren so auf, daß dies berücksichtigt wird. Der Algorithmus wird dadurch schneller.

Wir wollen das Siebverfahren jetzt in ein Logo-Programm umsetzen. Dabei gibt es ein kleines Problem. Beim oben beschriebenen Siebverfahren kann man sich vor- stellen, daß man mit Papier und Bleistift arbeitet oder daß man gar die Zahlen mit einem Stöckchen in den Sand schreibt. Der Sand oder das Papier speichern die auf- geschriebenen Zahlen. Beim Arbeiten mit dem Computer müssen wir sie auf eine andere Weise speichern. Hierfür bieten sich wieder die Listen an. Die Ausgangs- liste könnte im obigen Beispiel so aussehen:

[12345678910111213141516 17181920]

Auch das Unterstreichen und das Durchstreichen müssen wir in Logo auf andere Art umsetzen, Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun. In unserer ERA- TOSTHENES-Funktion wird es so gemacht, daß die echten Vielfachen der Prim- zahlen nicht durchgestrichen, sondern statt dessen "auf Null gesetzt" werden, und daß die unterstrichenen Zahlen einfach stehen bleiben. Zum Schluß sieht die "sesiebte" Liste also so aus:

[023050700011013000170190]

Die in der Liste enthaltenen von Null verschiedenen Zahlen sind also gerade die gesuchten Primzahlen.

Bevor wir mit dem Aussieben beginnen können, benötigen wir eine Funktion, die uns die Ausgangsliste liefert. Da in der Ausgangsliste die "Primzahlkandidaten" ste- hen, wollen wir die Funktion KANDIDATENLISTE nennen.

PR KANDIDATENLISTE :N

LOKAL "KL

SETZE "KL [ )] IORAL "LI

SETZE "I 1 SCHLEIFENBEGINN:

WENN :I > :N DANN RUECKGABE :KL SETZE "KL MITLETZTEM :I :KL SETZE "I s:I+il

GEHE "SCHLEIFENBEGINN

ENDE

Einige Beispiel im Direktbetrieb:

68

KANDIDATENLISTE 6 ERGEBNIS: [123456]

KANDIDATENLISTE 20 ERGEBNIS: [12345678910 1112131415 16 1718 19 20]

Aufgabe 3.32: Schreibe eine endrekursive Version der Funktion KANDIDATEN- LISTE.

Nun zum Siebverfahren selbst. Die entsprechende Funktion soll ERATOSTHENES heißen.

PR ERATOSTHENES :N

LOKAL "KL

SETZE "KL UEBERSCHREIBE 1 ( KANDIDATENLISTE :N ) © : LOKAL "I : SETZE "I ll

: LOKAL "V MARKIERUNG]:

( DRUCKEZEILE "STUFE :I ":) DRUCREZEILE :KL : WENN ;:I #* ;:I > :N DANN RUECKGABE :KL t SETZE "I :E#+1

11: WENN ( ELEMENT :I :KL ) = O0 DANN GEHE "MARKIERUNGI1 1253 SETZE "VW sI# 3sI

13: MARKIERUNG2:

14: WENN :V > :N DANN GEHE "MARKIERUNGI

15: SETZE "KL UEBERSCHREIBE :V :KL O0 165 SETZE WW 7 + I 17: GEHE "MARKIERUNG2

18: ENDE

Erläuterungen zur Prozedur ERATOSTHENES: Zunächst werden in ERA- TOSTENES einige (lokale) Hilfsvarıiable definiert. KL ist eine Hilfsvariable für die Kandidatenliste, I für die der Reihe nach zu durchlaufenden Zahlen und V für die Vielfachen von I. UEBERSCHREIBE ist eine weiter unten gegebene Hilfsfunktion mit drei Eingaben: einer Zahl :N, einer Liste :L und einem Objekt :X. UEBER- SCHREIBE ersetzt das Element Nr. :N der Liste :L durch das Objekt :X. Der Be- fehl

UEBERSCHREIBE 1 ( KANDIDATENLISTE :N) 0

bewirkt also, daß das erste Element (also die 1) in der Kandidatenliste "ausgenullt" wird, denn 1 ist keine Primzahl. In Zeile 15 bewirkt der Befehl UEBER- SCHREIBE :V :KL 0, daß das gegenwärtige Vielfache :V der Zahl :I ausgenullt wird.

In Zeile Nr. 8 werden die bisher erreichten Zwischenergebnisse ausgedruckt. Diese Zeile ist für das Gesamtergebnis der Funktion ERATOSTHENES im Grunde ge- nommen überflüssig. Aber der Verlauf des Siebverfahrens wird durch den Aus- druck der Zwischenergebnisse sehr gut im einzelnen erkennbar. Besonders beim Testen einer Prozedur kann das Ausdrucken von Zwischenergebnissen sehr bei der Fehlersuche helfen. Es stellt insbesodere auch eine Alternative zum Protokollmodus dar, von dessen Informationsfülle der Benutzer manchmal "erschlagen" wird.

Der Befehl ( DRUCKEZEILE "STUFE :I ") ist wieder ein Beispiel dafür, daß man mit einem Druckbefehl mehrere Daten ausdrucken kann; in diesem Fall das

69

Wort STUFE, den Wert der Zahl I und den Doppelpunkt. Die Leerstelle zwischen dem Doppelpunkt und der schließenden Klammer ist sehr wichtig.

Im Eingangsbeispiel ( :N = 20 ) hätten wir eigentlich bei der Zahl 5 aufhören kön- nen, denn ab dieser Zahl wurde keine zu streichende Zahl mehr angetroffen, die nicht vorher schon gestrichen worden war. Das Verfahren mußte nur deshalb noch weitergeführt werden, damit zum Schluß alle Primzahlen unterstrichen waren. Die Kennzeichnung der Nichtprimzahlen durch das Ausnullen verschafft uns hier Vor- teile. Denn die Primzahlen sind diejenigen Zahlen, die zum Schluß von Null ver- schieden sind. Die hat man aber auch schon beim Durchlauf der Zahl 5 (bei :N = 20). Im allgemeinen Fall braucht man das Ausnullen der Vielfachen von :I nur "bis zur Wurzel von :N", also bis zu dem kleinsten :I mit :I * :I> :N durchzuführen. Diese Stop-Bedingung ist in Zeile 9 zu finden; zum Schluß wird als Funktionswert die bearbeitete Kandidatenliste zurückgegeben.

Zeile 10 stellt den jeweiligen Übergang zur nächsten zu untersuchenden Zahl dar. Durch Zeile Il wird verhindert, daß Vielfache von schon gestrichenen Zahlen nochmals gestrichen werden. Es wäre ja zum Beispiel sinnlos, die Vielfachen von 4 zu streichen, da diese schon als Vielfache von 2 gestrichen worden sind. Das Logo- Grundwort ELEMENT ermöglicht einen lesenden Direktzugriff auf die Elemente einer Liste. Ein Beispiel im Direktbetrieb;

ELEMENT 4 [ ANNA EMMA HUGO ISOLDE OTTO XAVER ] ERGEBNIS: ISOLDE

In Zeile 12 wird die Ausnullung der Vielfachen von :I vorbereitet. Da die Zahl :I selbst nicht ausgenullt werden soll, wird beim Doppelten von :I begonnen. Die Aus- nullung dieser Vielfachen spielt sich in der durch MARKIERUNG?: gekennzeich- neten Schleife ab (Zeile 13 bis Zeile 17). Zeile 14 sorgt für den richtigen Ausstieg aus dieser Schleife. In Zeile 16 wird zum jeweils nächsten Vielfachen von :I über- gegangen.

In der Funktion ERATOSTHENES tritt die Schleifenbildung in verschachtelter Form auf. Die Schleife von Zeile 13 bis Zeile 17 ist komplett in der Schleife von Zeile 7 bis Zeile 17 enthalten.

Ein Lauf der Funktion ERATOSTHENES sieht zum Beispiel so aus:

ERATOSTHENES 20

STUFE 1:

02 3:43557 585 9 10 11. 12: 13 14 15 16 17 18: 19 20 STUFE. 2%

23:09:59. 70®8 911 91313 9135 817 Bl 0 STUFE 3;

2:25 0790 3 Bi . ©: 97 © 28 98 STUFE 4:

239250 :009% %11 8313 &: ©: B17 “le 08 STUFE 53

23925 06:%8D2BD 213 813 BD DB 017 a 12 DD ERGEBNIS:

9::23:92597658 DB I11 2821232 2 8 8 17 8183 ©)

Der Probelauf macht einige Dinge besonders deutlich: auf STUFE 3 folgt sehr

schnell STUFE 4. Wir erkennen daran, daß die "Testzahl" 4 überhaupt nicht bear- beitet wurde, denn die Zahl 4 und alle ihre Vielfachen sind schon als Vielfache von

70

2 ausgenullt worden. Das Zwischenergebnis von STUFE 4 stellt dementsprechend auch keine Verbesserung gegenüber dem Zwischenergebnis von STUFE 3 dar.

Auch dieser Probelauf ist wieder ein Beispiel dafür, daß der DRUCKEZEILE-Be- fehl die äußersten Listenklammern wegläßt, wenn seine Eingabe eine Liste ist. Nach dem Wort ERGEBNIS: erscheint die Liste dagegen "in voller Pracht" mit allen Klammern.

Nun zur Hilfsfunktion UEBERSCHREIBE. Sie stellt unabhängig vom ERA- TOSTHENES-Problem eine nützliche Dienstfunktion (englisch: utility) dar.

PR UEBERSCHREIBE :N :L :X WENN :N > LAENGE :L DANN RUECKGABE :L

LOKAL "L1 SETZE "L1 [] LOKAL "I

SETZE "I 1 SCHLEIFENBEGINN:

WENN :I < :N DANN | SETZE "L1 MITLETZTEM ERSTES :L :Ll WENN :I = :N DANN | SETZE "L1 ( SATZ :Ll :X OHNEERSTES :L) _ RUECKGABE :L1

SETZE "I :Iı +

SETZE "L OHNEERSTES :L

WENN :I > :N DANN RUECKGABE :L1

GEHE "SCHLEIFENBEGINN ENDE

Ein Beispiel im Direktbetrieb:

UEBERSCHREIBE 3 EABCGCDEF ] NXERXES,

ERGEBNIS: [ A BXERXES DEF |]

Zu Übungszwecken ist es lehrreich, einmal eine endrekursive Version der Funktion ERATOSTHENES zu schreiben. Wir wollen sie im folgenden PRIMZAHLLISTE nennen. Bei ihrer Beschreibung können wir uns etwas kürzer fassen, da vıeles schon im Zusammenhang mit der Funktion ERATOSTHENES besprochen wurde.

PR PRIMZAHLLISTE :N

LOKAL "KL

SETZE "KL (MITERSTEM O0 OHNEERSTES KANDIDATENLISTE :N) PRIMZAHLLISTE.HP 2

RUECKGABE :KL

ENDE

PR PRIMZAHLLISTE.HP :I

WENN :I * :I > :N DANN RUECKKEHR

WENN NICHT? ( ELEMENT :I :KL) = O0 DANN

. SETZE "KL AUSNULLEN :KL :I

( DRUCKEZEILE "STUFE :I ": ) DRUCKEZEILE :KL PRIMZAHLLISTE.HP (:I +1) ENDE

Erläuterung der Prozedur PRIMZAHLLISTE: Diese Prozedur dient nur dazu, ei- nige Vorbereitungen für den Aufruf der Hilfsprozedur PRIMZÄAHLLISTE.HP zu

71

erledigen und das dort ermittelte Ergebnis als Funktionswert zurückzugeben. PRIMZAHLLISTE definiert und bestückt die Hilfsvariable KL und ruft PRIM- ZAHLLISTE.HP mit dem Anfangswert 2 auf.

Die Prozedur PRIMZAHLLISTE.HP ist der eigentliche endrekursive Teil. Sie ent- spricht ungefähr der durch die Zeilen 7 bis 17 gegebenen Schleife in der Prozedur ERATOSTHENES. Die bearbeitete Kandidatenliste wird in der Variablen KL ab- gespeichert. KL ist zunächst eine lokale Variable von PRIMZAHLLISTE. Sie ist aber auch in der aufgerufenen Prozedur PRIMZAHLLISTE.HP bekannt.

Aufgabe 3.33: Warum darf :KL nicht zu einem Eingabeparameter der Prozedur PRIMZAHLLISTE.HP gemacht werden? Probiere aus, was dann passiert.

Da PRIMZAHLLISTE eine vollständig endrekursive Lösung darstellen sollte, ist es angebracht, auch die Hilfsprozedur AUSNULLEN in endrekursiver Form zu schrei- ben.

PR AUSNULLEN :L :I LOKAL "L.ANFANG SETZE "L.ANFANG [ ] LOKAL "L.ENDE SETZE "L.ENDE :L AUSNULLEN.HP :I (2 * :I) RUECKGABE :L.ANFANG ENDE

PR AUSNULLEN.HP :I :V

WENN :L.ENDE = [ ] DANN RUECKKEHR

PRUEFE ( LAENGE :L.ANFANG ) = :V-1ı

WENNWAHR a 5 |

SETZE "L.ANFANG ( MITLETZTEM O :L.ANFANG )

0 SETZE "v :V+:lI

WENNFALSCH | |

__ SETZE "L.ANFANG (MITLETZTEM ERSTES :L.ENDE :L.ANFANG) SETZE "L.ENDE OHNEERSTES :L.ENDE

AUSNULLEN.HP :I :V

ENDE

Erläuterungen zur Prozedur AUSNULLEN: AUSNULLEN hat zwei Eingaben: die Liste :L und die Zahl :I. Ihre Aufgabe ist, alle Vielfachen von :I (außer :I selber) auszunullen. Nach dem bei endrekursiven Funktionen üblichen Muster haben wir auch hier wieder einen Vorbereitungs- und Aufruf-Teil (AUSNULLEN) und einen Teil, der die echte Arbeit erledigt (AUSNULLEN.HP). Der "Plan" sieht so aus, daß mit den beiden Hilfslisten :L.ANFANG und :L.ENDE gearbeitet wird. Zu Beginn ist :L.ANFANG leer und :L.ENDE gleich :L.

Die Hilfsprozedur AUSNULLEN.HP hat zwei Eingaben: die aktuelle "Testzahl" :I und ihre Vielfachen :V. Im wesentlichen werden die Elemente von :L.ENDE eins nach dem anderen nach :L.ANFANG "geschoben". Jeweils das erste Element von :L.ENDE wird als letztes Element an :L.ANFANG angehängt (und aus :L.ENDE entfernt). Nur wenn die Stelle in :L.ANFANG gerade ein Vielfaches von :V ist, wird das erste Element von :L.ENDE fallengelassen und stattdessen eine Null an :L.ANFANG angehängt.

Mit dem PRUEFE-Befehl kann man lange WENN ... DANN ... SONST - Schach- telungen vermeiden. Ohne diesen Befehl müßte man an Stelle der mit den Worten

72

PRUEFE, WENNWAHR (kurz: WW) und WENNFALSCH (kurz: WF) beginnenden Zeilen in AUSNULLEN.HP den folgenden "Bandwurm" in einer einzigen logischen Zeile schreiben:

WENN ( LAENGE :L.ANFANG ) = :V - 1 DANN __ SETZE "L.ANFANG (MITERSTEM O :L.ANFANG ) SETZE "V :V+:l SONST SETZE "L.ANFANG |

( MITLETZTEM ERSTES :L.ENDE :L.ANFANG )

II

Aufgabe 3.34: Schreibe eine Logo-Funktion NULLEN.RAUS, die alle in einer Liste enthaltenen Nullen entfernt. Der Aufruf NULLEN.RAUS PRIMZAHLLISTE 100 liefert als Ergebnis dann eine Liste mit den Primzahlen zwischen I und 100.

Bei den Laufzeiten weisen die Funktionen ERATOSTHENES und PRIMZAHL- LISTE deutliche Unterschiede auf, Der Aufruf ERATOSTHENES 50 benötigt 2 Minuten 23 Sekunden, der von PRIMZAHLLISTE 50 dagegen nur 28 Sekunden. Dies liegt daran, daß die Hilfsfunktion AUSNULLEN dem Siebverfahren besser an- gepaßt ist als die Hilfsfunktion UEBERSCHREIBE. Die Funktion UEBER- SCHREIBE ist deswegen so langsam, weil es im Commodore Logo keinen schreiben- den Direktzugriff auf das :N-te Element einer Liste gibt. (Einen lesenden Direktzu- griff ermöglicht der Grundbefehl ELEMENT, wie wir gesehen haben).

Aufgabe 3.35: Der lesende und schreibende Direktzugriff auf bestimmte Elemente ist üblicherweise bei Feldern (englisch: arrays) möglich. Falls du eine Program- miersprache mit Feldern hast, in der du dich einigermaßen auskennst, dann ent- wickle eine "Feld"-Version für das Sieb des Eratosthenes. Moderne Logo-Versionen auf etwas größeren Personal Computern verfügen im allgemeinen auch über Felder.

Aufgabe 3.36: Schreibe eine endrekursive Version der Prozedur UEBERSCHREIBE.

Aufgabe 3.37: Primzahl-"Bootstrapping" (ein kleines Projekt; Wir wollen eine Liste anlegen, die ein "Anfangsstück" der Primzahlen, also alle Primzahlen bis zu ei- ner bestimmten oberen Schranke, enthält. Im Prinzip könnten wir das zum Beispiel mit der Prozedur ERATOSTHENES oder PRIMZAHLLISTE machen, wobei wir zum Schluß alle Nullen aus der Ergebnisliste hinauswerfen müssen. Aber dieses Verfahren ist sehr langsam. Wir wollen anders vorgehen. Zunächst verschaffen wir uns mit Hilfe der Funktion ERATOSTHENES (oder auch "von Hand") unter dem globalen Namen PRIMZAHLEN eine kleine, aufsteigend geordnete Anfangsliste von Primzahlen; zum Beispiel alle Primzahlen bis zur Zahl 7:

WERT "PRIMZAHLEN = [2357]

Dann testen wir, beginnend bei 9, in Zweierschritten vorwärtsschreitend, alle unge- raden Zahlen. Wenn wir auf eine Primzahl stoßen, dann nehmen wir sie als letztes Element in unsere Liste der Primzahlen auf. Dadurch wird die Liste der Primzahlen immer größer.

Diese Liste der Primzahlen können wir auch gleich für einen sehr viel schnelleren Primzahltest verwenden. Bisher haben wir bei Primzahlkandidaten geprüft, ob sie durch irgendeine (kleinere) Zahl teilbar sind. Um zu testen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, müssen wir aber nur prüfen, ob sie durch eine Primzahl teilbar ist. Und für diesen Test können wir die laufend erweiterte Primzahlliste heranziehen.

13

Ein Beispiel:

Das hier beschriebene Yerfahren erinnert an die Geschichte des Barons von Münch- hausen, der sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf gezogen hat. strapping hat im Englischen ungefähr diese Bedeutung,

fahren deshalb Bootstrap-Verfahren.

Führe das eben beschriebene Verfahren aus.

Ein Hinweis:

PRIMZAHLEN kann dabei als globale Variable geführt werden,

Primzahlen enthält.

Der Lauf der Primzahl-Bootstrap-Programms kann übrigens jederzeit (mit Control- G) unterbrochen werden. Wenn man die bis dahin vorliegende Primzahlliste sichert (z.B. auf einer Diskette abspeichert), kann man den Bootstrap-Lauf beim nächsten Mal mit dieser Liste als Anfangsstück fortsetzen.

der Primzahlliste:

74

ll 2 31 i3

127 179 233 283 353 419 467 547 607 661 739 sll 877 947

1019

1087

1153

1229

1297

1381

1453

1523

1:39

1663

1741

1823

1901

1993

2063

2131

2221

2293

2371

953 1021 1091 1163 1231 1301 1399 1459 931 1601 1667 1747 1831 1907 1997 2069 2137 2237 2297 2377

1031 1093 a ba Ba 1237 1303 1409 1471 1543 1607 1669 1793 1847 1913 1999 2081 2141 2239 2309 2381

47 59 103 157 211 269 33 389 449 509 San 643 709 773 823 919 991 1051 I1E} 1201 1279 1327 1433 1489 1567 1621 17.09 1787 1873 1951 2027 2099 2149 2269 2341 2399

19 61 107 163 223 2arlL 337 397 457 521 593 647 719 787 857 929 997 1061 1123 1273 1283 1361 1439 1493 LSf6L 162// 1721 1789 1877 1973 2029 2111 2203 2273 2347 2all

Die

Das Wort hool- Man nennt derartige Ver-

23 67 109 167 227 274 347 401 461 523 599 653 127 797 859 937 1009 1063 1129 1217 1289 1367 1447 1499 1579 1637 1723 1801 1879 1979 2039 2113 2207 2281 2391 2417

Um zu testen, ob 269 eine Primzahl ist, brauchen wir diese Zahl nur durch 2, 3, 5, 7, 11, 13 und 17 zu teilen, nicht jedoch durch 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 und 16. Bei größeren Testzahlen wird noch viel mehr eingespart.

Primzahlliste Wenn überhaupt eine Variable es verdient, global geführt zu werden, dann die Variable, welche die

Hier ist ein solches Anfangsstück

2437 2539 2621 2689 2749 2833 2909 3001 3083 3187 3259 3343 3433 35L7 359, 3659 3733 39323 3911 4001 4073 4153 4241 4327 4421 4507 4591 4663 4759 4861 4943 5009 5099

2441 2543 2633 2693 2753 2837 2917 3011 3089 3191 x 3347 3449 3527 3583 3671 3432 3833 3917 4003 4079 4157 4243 4337 4423 4513 4597 4673 4783 4871 4951 5011 5101

2447 2549 2647 2699 2767 2843 2927 3019 3109 3203 3299 3359 3457 3529 3593 3673 3761 3847 3919 4007 4091 4159 4253 4339 4441 4517 4603 4679 4787 4877 4957 5021 5107

2459 2551 2657 2707 a774 285 29339 3023 3119 3209 3301 3361 3461 3533 3607 3877 3767 3851 3923 4013 4093 4177 4259 4349 4447 4519 4621 4691 4789 4889 4967 5023 5113

2467 2537 2659 27.4 2789 2857 2953 3037 3121 3217 3307 3344 3463 3539 3613 3691 3769 3853 3929 4019 4099 4201 4261 4357 4451 4523 4637 4703 4793 4903 4969 5039 ]

2413 2579 2663 2713 2791 2861 2957 3041 3137 322L 3313 3373 3467 3541 3617 3697 3779 3863 3931 4021 alll 4211 4271 4363 4457 4547 4639 4721 4799 4909 4973 5051

2477 2591 2671 »7.19 2737 2879 2963 3049 3103 3229 3319 3389 3469 3547 3623 3701 3793 39877 3943 4027 4127 4217 4273 4373 4463 4549 4643 4723 4801 4919 4987 5059

2503 2993 2677 2729 2801 2887 2969 3061 3167 329L 3323 3391 3491 3357 3631 3709 3197 3881 3947 4049 4129 4219 4283 4391 4481 4561 4649 4729 4813 4931 4993 5077

2521 2609 2683 2731 2803 2897 2971 3067 3169 3253 3329 3407 3499 3559 3637 3419 3803 3889 3967

4051

4133 4229 4289 4397 4483 4567 4651 4733 4817 4933 4999 5081

25314 2617 2687 2741 2819 2903 2999 3079 3181 325/ >331 3413 39.L41 3541 3643 37127 3821 3907 3989 4057 4139 4231 4297 4409 4493 4583 4657 4751 4831 4937 5003 3087

Aufgabe 3.38: Schreibe eine Funktion PRIMZAHL il, welche die :I-te Primzahl als Funktionswert zurückgibt. Zum Beispiel: PRIMZAHL 5

ERGEBNIS: 11

Aufgabe 3.39: Die Goldbachsche Vermutung (nach Chr. Goldbach, 1690-1764) be- sagt, daß man jede gerade Zahl größer oder gleich 6 als Summe von zwei Primzah- len schreiben kann. Zum Beispiel ist 12=5+7 oder 24=7+17=11+ I. ES kann also u.U. auch mehrere solche Summendarstellungen geben. UÜberprüfe die Goldbachsche Vermutung mit Hilfe der Primzahlliste aus dem Primzahl-Bootstrap- Lauf an einigen Beispielen

(a) von Hand,

(b) mit Hilfe eines Programms,

Aufgabe 3.40: (a) Schreibe eine Funktion ZWEIHOCH :N, mit der man die Zweierpotenzen ermitteln kann. | | | (b) Schreibe eine Funktion HOCH :X :N, mit der man die :N-te Potenz einer be-

liebigen Zahl :X ermitteln kann.

Hier ist eine schnelle Lösung für das Potenzieren:

75

PR POT :& ı:N

LOKAL "Y

SETZE "Y 1

POT.HP :X :N

RUECKGABE :Y ENDE

PR FOT.HP :X :N

WENN :N = 0 DANN RUECKKEHR

PRUEFE GERADE? :N

WENNWAHR SETZE "X :X *% :X SETZE "N WENNFALSCH SETZE "Y :Y * :X SETZE "N FOT„BE 3% &N ENDE

PR GERADE? :

RUECKGABE ( REST :N 2) =D ENDE

Die folgende Tabelle gibt das "Kurzprotokoll" des Aufrufs POT 3 15 wieder:

3 X 4 :N ı :yY = (1X noch :N)

1. 4 3 15 ! j. « 3#

31 3 | 14 ! 3 a 31

Br 9 1 7 ! 3 8 9!

37 1 | 6 | 27% 9°

a7 | 81 |! 3 ! 7. * 81°

2187 |! 81 |! 2 ! 2187 * 81° 2187 ! 6561 | 3: ! 2187 * 6561! 14348907 ! 6561 |! 0 ! 14348907 * 6561’

Tabelle 3.4: Kurzprotokoll des Aufrufs POT 3 15

Aufgabe 3.41: (a) Erweitere die Prozedur POT.HP durch eine weitere Programm- zeile zu Demonstrationszwecken so, daß unmittelbar nach dem Aufruf die Werte der Variablen Y, X und N ausgedruckt werden. Verfolge einige Demonstrationsläufe. (b) Begründe die Tatsache, daß sich während des Laufes von POT.HP der Wert des Terms :Y * (:X hoch :N) nicht verändert.

(c) Gib den Wert der Variablen Y nach Ablauf der Prozedur POT.HP an.

(d) Die schnelle Version von POT / POT.HP ist besonders vorteilhaft, wenn :N eine Zweierpotenz ist. Begründe dies. Gib für diese besonders günstigen Fälle an, wie viele Durchläufe von POT.HP notwendig sind, bis das Ergebnis ermittelt ist.

(e) Stelle die Druckbefehle aus Aufgabenteil (a) "kalt", indem du ein Semikolon an den Anfang der entsprechenden Zeile schreibst. Diese Zeile wird dann als Kom- mentarzeile gewertet. Wenn du die Ausdruckbefehle wieder "einschalten" möchtest, brauchst du nur das Semikolon zu entfernen.

Aufgabe 3.42: Der französiche Mathematiker Mersenne (1588 - 1648) untersuchte Zahlen der Art ( ZWELHOCH :P)- 1, wobei :P eine Primzahl ist. (Solche Zah- len werden seitdem Mersennesche Zahlen genannt). Er stellte die Vermutung auf, daß alle diese Zahlen Primzahlen sind. So ist zum Beispiel (ZWELHOCH 5)-|] = 31 eine Primzahl. Überprüfe die Mersennesche Vermutung,

76

Aufgabe 3.43: Abgesehen von der Primzahl 2 sind alle weiteren Primzahlen unge- rade; sie müssen sich also um mindestens 2 unterscheiden. Tatsächlich gibt es eine Reihe von Primzahlpaaren, deren Differenz genau 2 ist; zum Beispiel ll und 13, 17 und 19, 41 und 43 usw. Solche Primzahlpaare heißen Primzahlzwillinge. Suche weitere Primzahlzwillinge.

Aufgabe 3.44: (a) Schreibe eine Prozedur ZAHLENTABELLE :SPALTENZAHL, mit der du die natürlichen Zahlen nacheinander in der angegebenen Spaltenzahl aus- druckst. Ein Beispiel:

ZAHLENTABELLE 12

£ k 6

14 15 16 (17) 18 20 21 22 24 26 27 28 30 22 3 M 36 38 39 40 42 48 50 51 52 54

63 64 65 66

74 75 76 78

77 86 87 88 90

....00 > MD | a N te) u on bs

(b) Beobachte, wie sich die Primzahlen auf die einzelnen Spalten verteilen.

(c) Begründe, warum in der zweiten, dritten, vierten, sechsten, achten, neunten, zehnten und zwölften Spalte ab Zeile 2 keine Primzahlen mehr zu finden sind.

(d) Welche Eigenschaften haben die "Spaltenzahlen" 1, 5, 7 und 11 bezogen auf die Zahl 12?

Aufgabe 3.45: Der kleine Fritz spielt gern mit Zahlen. Er stellt dabei folgendes

fest: 23 = L = 7 (Primzahl) Eh ii a 33 (Primzahl) 2%*3*%5%X7 +1 = 21 (Primzahl)

Schreibe die nächste Zeile nach Fritzens Bildungsgesetz auf. Fritz vermutet, daß immer wieder Primzahlen herauskommen. UÜberprüfe diese Vermutung.

Aufgabe 3.46: Einige der Prozeduren dieses Abschnitts liegen in verschiedenen Versionen vor. Entscheide dich jeweils für eine lauffähige Arbeitsversion. Füge diese Arbeitsversionen den bisherigen Prozeduren der Teilbarkeits-Datei hinzu. (Du kannst dabei entsprechend vorgehen wie in Aufgabe 3.24),

77

3.4 Der größte gemeinsame Teiler

Aufgabe 3.47: Ein rechteckiger Papierbogen ist 136 cm lang und 60 cm breit. Er soll in gleich große Quadrate zerschnitten werden, ohne daß ein Rest übrig bleibt.

Man kann sich vorstellen, daß der Papierbogen mit den Quadraten "gepflastert" ist, wie = der folgenden En

Bild 3.1: Pflasterung mit Quadraten

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Rechteck zu zerschneiden. Wenn man möglichst viele Quadrate haben will, dann muß man nur ihre Seitenlänge klein wählen; zum Beispiel 1 cm oder noch kleiner.

Aufgabe 3.48: Wie viele Quadrate erhält man bei einer Seitenlänge von | cm; wie viele bei einer Seitenlängen von 0.5 cm ?

Aufgabe 3.49: Welches ist die größtmögliche Seitenlänge?

Aus Bild 3.1 geht hervor, daß die Seitenlänge des Quadrates ın jeder der Rechtecksseiten "aufgehen" muß. Das heißt, sie muß jede der Rechtecksseiten tei- len.

Aufgabe 3.50: (a) Ermittle die Teiler der Zahl 136 und der Zahl 60. (b) Bestimme die gemeinsamen Teiler. (c) Bestimme den größten gemeinsamen Teiler.

Merke: Die Seitenlänge des größten Quadrates, mit dem ein Rechteck der Seiten- längen a und b gepflastert werden kann, ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) bzw. das größte gemeinsame Maß von a und b.

Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen wird in der Mathematik häufig benötigt; zum Beispiel beim Kürzen eines Bruches. Im obigen Beispiel kommt er in der Form des größten gemeinsamen Maßes zweier Strecken vor. Wir wollen nun verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers kennenlernen.

Gehen wir einmal ganz naiv vor, Zur Bestimmung der Teiler von 136 können wir unsere TEILER-Funktion verwenden:

TEILER 136 ERGEBNIS: [1248 1734 68 136 ]

78

TEILER 60 ERGEBENES: [12345369 10 12.15 20 60. ]

Die gemeinsamen Teiler sind I, 2 und 4; der größte gemeinsame Teiler ist 4.

Was wir hier "von Hand" durchgeführt haben, können wir auch von Logo ausführen lassen. Wir benötigen dazu offenbar eine Funktion, die uns aus zwei Listen die ge- meinsamen Elemente herausholt, und eine weitere Funktion, die aus einer Liste die größte Zahl "herausfischt".

PR GEMEINSAME.ELEMENTE :L1 :L2 LOKAL "D

SETZE "D []

WENN :L2 = [ ] DANN RUECKGABE :D MARKIERUNG1:

WENN :L1l = [ ] DANN RUECKGABE :D

WENN EL? (ERSTES :L1) :L2 DANN SETZE "D ( MITLETZTEM ERSTES :Ll ) :D SETZE "L1l OHNEERSTES :L1

GEHE "MARKIERUNGI

ENDE

Erläuterungen zur Prozedur GEMEINSAME.ELEMENTE: D ist der Name einer Hilfsliste, in der die gemeinsamen Elemente gespeichert werden. Am Anfang ist D die leere Liste. Wenn eine der beiden Ausgansslisten :L1 bzw. :L2 leer ist, kann es keine weiteren gemeinsamen Elemente geben, und wir sind fertig. Die Logo-Prüf- funktion EL? (Kurzform für ELEMENT? - die Langform gibt es aber nicht als Grundwort) erwartet zwei Eingaben; ein beliebiges Objekt und eine Liste. Sie überprüft, ob das angegebene Objekt ein Element der Liste ist oder nicht. Hierzu einige Beispiele:

EL? 3 [A1lB2C3D4] ERGEBNIS: WAHR

EL? 3 [ 333 BEI ISSUS KEILEREI ] ERGEBNIS: FALSCH

EL DIE: ABER Y ZI ERGEBNIS: FALSCH

EL? {RSI [i20W [RSJ Z j ERGEBNIS: WAHR

EL? [RS] [ERSTES] ERGEBNIS: FALSCH

Der Befehl SETZE "D (MITLETZTEM ERSTES :L1) :D sorgt schließlich dafür, daß Elemente von :L1, die auch in :L2 vorkommen, in die Liste D der gemeinsamen Elemente aufgenommen werden.

Wir wollen uns zum besseren Verständnis ein Ablaufprotokoll anschauen.

GEMEINSAME.ELEMENTE [1236918] [13515]

79

Schleifen- Wert von L1 Wert von D

durchlauf vorher nachher vorher nachher 1 Tz212%3:6 91271 E23 86938 ] [|] FE: 2%. ] 2 2:3: 6 9 18 ] 3 8 18 | IL] = 1 3 [36918 ] [6918 ] 7 Fr 3 4 [6918 ] [918] 3: Ft °% 3 5 fe 9 38 7 : 38 ] 1L3:7] Er &] 6 [ 18 ] | ı 337 [23] —

Rückgabewert

der Funktion

GEMEINSAME. ELEMENTE

Tabelle 3.5

Die Funktion GEMEINSAME.ELEMENTE funktioniert mit beliebigen Listen als Eingabe und stellt deshalb ein nützliches allgemeines Dienstprogramm dar,

GEMEINSAME.ELEMENTE[ABC 173451] [BCD51 68 Z] ERGEBNIS: [BC51]

GEMEINSAME.ELEMENTE [X YZ] [123456] ERGEBNIS: [ ]

Aufgabe 3.51: Schreibe eine Funktion ENTHALTEN? :Lil :L2, mit der du prüfen kannst, ob jedes Element der Liste :Ll in der Liste :L2 enthalten ist.

Aufgabe 3.52: Schreibe eine endrekursive Version der Funktion GEMEIN- SAME.ELEMENTE.

Aufgabe 3.53: Schreibe eine Funktion GEMEINSAME.TEILER :A :B

Da unsere Teilerlisten der Größe nach geordnet sind, ist der größte gemeinsame Teiler das letzte Element in der Liste der gemeinsamen Teiler.

PR GROESSTER.GEMEINSAMER.TEILER :A :B RUECKGABE LETZTES GEMEINSAME.ELEMENTE (TEILER :A) (TEILER :B) ENDE GROESSTER.GEMEINSAMER.TEILER 12 18 ERGEBNIS: 6

Aufgabe 3.54: Verwende die schnellere TEILER-Funktion in GROESS- TER.GEMEINSAMER.TEILER.

Aufgabe 3.55: Schreibe eine Dienstfunktion GROESSTE.ZAHL :L, deren Funktionswert die größte in der Liste :L enthaltene Zahl ıst.

Die Funktion GROESSTER.GEMEINSAMER.TEILER ist nicht besonders schnell. Aber sie tut ihren Dienst. Und sie ist völlig natürlich aufgebaut. Außerdem haben wir dabei eine ganze Anzahl nützlicher Dienstfunktionen kennengelernt, die man sowieso des Öfteren braucht.

80

Es gibt aber sehr viel bessere Möglichkeiten, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen. Das folgende Verfahren stammt von dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria (etwa 365 - 300 v. Chr.)

Dem euklidischen Verfahren (Euklidischer Algorithmus) liegt die folgende einfache Beobachtung zugrunde: Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist auch ein Teiler ihrer Differenz a-b. Um dies einzusehen, stellen wir uns die Zahlen a und b als Strecken vor. Ein Beispiel mita = 18 und b = 14:

Bild 3.2: Die Strecke 2 ist ein gemeinsames Maß der Strecken 18 und 14.

Die Strecke 2 geht ganz in der Strecke 18 auf; ebenso in der Strecke 14, Also muß sie auch in der Differenzstrecke 4 aufgehen.

Wir wollen diese Beobachtung nun auf den größten gemeinsamen Teiler von 136 und 60 anwenden. Wenn uns diese Aufgabe als zu schwer erscheint, können wir uns das Leben dadurch leichter machen, daß wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 136 - 60 und 60, also von 76 und 60 zu finden versuchen. Aber auch dieses Problem läßt sich weiter vereinfachen. Insgesamt erhalten wir schrittweise die folgenden einfacheren Probleme:

größter gemeinsamer Teiler von 136 und 60 größter gemeinsaner Teiler von 76 und 60 größter gemeinsamer Teiler von 16 und 60 größter gemeinsamer Teiler von 16 und 44 größter gemeinsaner Teiler von 16 und 28 größter gemeinsamer Teiler von 16 und 12 größter gemeinsamer Teiler von 4 und 12 größter gemeinsamer Teiler von 4 und 8 größter gemeinsamer Teiler von 4 und 4

(ln u

|

| >

81

Dieses Verfahren, daß man immer die kleinere von der größeren Zahl abzieht, be- zeichnet man auch als Wechselwegnahme.

Geometrisch können wir uns das Verfahren so veranschaulichen:

| | 136 = 2:60 + 16

«@E = | V=3 16 +12

u —I,— | | et Ach = 12: 14|4]4 2=-3:4+0

Bild 3.3: Der Euklidische Algorithmus

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun leicht eine Logo-Funktion zur Be- stimmung des größten gemeinsamen Teilers schreiben.

PR GGT.SUBTRAKTIONSFORM :A :B MARKIERUNGI:

WENN :A = :B DANN RUECKGABE :A

WENN :A > :B DANN SETZE "A (:A- :B) WENN :B > :A DANN SETZE "B (:B - ::A) GEHE "MARKIERUNGLl ENDE

Im Falle :A=0 oder :B=0 läuft GGT.SUBTRAKTIONSFORM noch nicht richtig. Dies wird im Zusammenhang mit anderen Verbesserungen gleich noch korrigiert.

Aufgabe 3.56: Schreibe eine endrekursive Version der Funktion GGT.SUB- TRAKTIONSFORM.

Der Euklidische Algorithmus ist ein sehr viel schnelleres Verfahren als unser erster Versuch mit der Funktion GROESSTER.GEMEINSAMER.TEILER. Aber auch dieser Algorithmus läßt sich noch erheblich verbessern.

Nehmen wir einmal an, wir wollen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 2098757 und 17 mit dem Subtraktionsalgorithmus berechnen. Dann wird nach dem obigen Algorithmus 123456 mal die 17 von der Zahl 2098757 abgezogen, bis wir eine Differenz unterhalb von 17 erhalten (in diesem Fall: die Differenz 5). Diese vielen Subtraktionen benötigen sehr viel Zeit. Ein klein wenig Nachdenken sagt uns aber, daß die 5 gerade der Divisionsrest bei der Division von 2098757 durch 17 ist. Denn der Divisionsrest ist doch gerade die Zahl, die übrig bleibt, wenn man so viele "Siebzehner" wie möglich von 2098757 abzieht. Diesen Divisionsrest erhalten wir aber sehr viel schneller, wenn wir die Logo-Grundfunktion REST benutzen:

82

REST 2098757 17 ERGEBNI: 5

Wir bauen diese Verbesserung sofort in unsere obige GGT-Funktion ein:

1: PR GGT.MIT.REST :A :B

2 MARKIERUNG]:

33 WENN :A = :B DANN RUECKGABE :A

4: WENN :A > :B DANN SETZE "A (REST :A :B) 5: WENN :B > :A DANN SETZE "B (REST :B :A) 6: GEHE "MARKIERUNGL

7: ENDE

Beim Lauf dieser Version erhalten wir aber die Fehlermeldung "DIVISION DURCH NULL!". Dies ist natürlich verboten. Aber wo wird denn hier durch Null divi- diert? Schauen wir uns den Lauf von GGT.MIT.REST einmal aufmerksam im ab- gekürzten Protokoll-Modus an. Dazu bauen wir zwischen Zeile 2 und 3 den Druck- befehl ( DZ:A ::B) ein. Ein Probelauf:

GGT.MIT.REST 18 12 18 12

6 0

DIVISION DURCH NULL!

Wie ist das passiert? Wir begannen mit :A = 18 und :B = 12. In Zeile 4 (alte Numerierung) wurde dann der Wert von A auf 6 '( = REST 18 12) und in Zeile 5 der Wert von Bauf 0 (= REST 12 6) gesetzt. Im nächsten Schleifendurchlauf wäre dann in Zeile 4 REST 6 0 zu berechnen gewesen; und dabei trat die Fehler- meldung auf.

Erinnerst du dich an den Anfang von Abschnitt 3.1? Wir haben dort gesehen, daß die REST-Funktion eng mit der Ganzzahldivision zusammenhängt. Probiere folgen- des aus:

DIV 60

DIVISION DURCH NULL! REST 6 0

DIVISION DURCH NULL!

6/0 DIVISION DURCH NULL!

Wir haben die Aussage "a teilt b" bisher so verstanden, daß die Division von b durch a den Rest Null ergibt. Dies ist zwar nicht falsch, um einige Sonderfälle mit der Null besser in den Griff zu bekommen, ist die folgende Definition günstiger:

Die Zahl a teilt die Zahl b, wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit: a*n=b.

Die Aufgabe "6 geteilt durch 0" ist zwar mathematisch nicht sinnvoll, aber die Aus- sage "0 ist kein Teiler von 6" ist dennoch richtig, denn es gibt keine natürliche Zahl n mit der Eigenschaft 0 * n = 6. Auch die Aussage "0 ist ein Teiler von 0" ist wahr, denn 0 *m=0 ist für jede Zahl m richtig. Wir sollten deshalb auch die Prüffunktion TEILT? aus Abschnitt 3.1 dieser verbesserten Definition anpassen:

83

PR TEILT? :A :B WENN :B = 0 DANN RUECKGABE "WAHR WENN :A = 0 DANN RUECKGABE "FALSCH RUECKGABE ( REST :B :A) = 0

ENDE

Jetzt können wir die obige Fassung der Funktion GGT.MIT.REST reparieren. Denn die verhängnisvolle Zahl Null kam dadurch zustande, daß die eine Zahl (im obigen Beispiel die 6) die andere teilte (im obigen Beispiel die 12). In einem solchen Fall können wir aber sofort sagen, was der größte gemeinsame Teiler ist.

Merke: Wenn die Zahl a ein Teiler der Zahl b ist, dann ist der größte gemeinsame Teiler von a und b gleich a selbst. Zum Beispiel: ggT(6 , 12) = 6,

Hier ist eine korrekte Version unserer Prozedur:

PR GGT.MIT.REST :A :B

MARKIERUNG]:

WENN TEILT? :A :B DANN RUECKGABE :A

WENN TEILT? :B :A DANN RUECKGABE :B

WENN :A > :B DANN SETZE "A (REST :A WENN :B > :A DANN SETZE "B ( REST :B GEHE "MARKIERUNGI

ENDE

Während die vorige Version GGT.SUBTRAKTIONSFORM bei ungünstigen Zahlen minutenlang oder gar stundenlang subtrahierte, liefert uns die REST-Version das Ergebnis schlagartig. Man sieht: es lohnt sich, den Problemen mit etwas mehr Ma- thematik auf den Leib zu rücken.

Die Version mit REST ist so effizient, d.h. sie benötigt so wenige Schritte, daß in diesem Fall selbst eine voll rekursive Version der Prozedur möglich ist, ohne daß wir allzu schnell die Fehlermeldung "SPEICHER VOLL" bekommen.

PR GGCT :A :B

WENN TEILT? :A :B DANN RUECKGABE :A WENN TEILT? :B :A DANN RUECKGABE :B WENN :A > :B DANN RUECKGABE GGT ( REST : WENN :B > :A DANN RUECKGABE GGT :A ( RES ENDE

A :B) :B T :B :A)

= [3 - .

Aufgabe 3.57: (a) Verfolge die letzte Version aufmerksam im (eingebauten) Proto- kollmodus.

(b) Baue unmittelbar hinter die erste Zeile den Druckbefehl (DRUCKEZEILE :A :B) ein und beobachte den Lauf der Prozedur in diesem abgekürzten Protokoll- modus. Entferne danach den Druckbefehl wieder.

Aufgabe 3.58: Man kann den größten gemeinsamen Teiler auch über die Primfak- torzerlegung zweier Zahlen ermitteln. Dieses Verfahren wird am besten durch ein Beispiel verdeutlicht.

a = 14700 = 223 ı4545% 7% 7 b = 3234 = 2 # 3% #7 *: 11 gagT(ia ,„ b) = 2 * 3 * #7 = 294

84

Schreibe eine Funktion GGT.PFZ, die den größten gemeinsamen Teiler zweier Zah- len über ihre Primfaktorzerlegung ermittelt. Hinweis: Die Funktion PRIMFAK- TORZERLEGUNG aus Abschnitt 3.3 kann dabei verwendet werden. Dagegen ist die Funktion GEMEINSAME.ELEMENTE in der vorliegenden Form für dieses Pro- blem noch nicht brauchbar. Begründe dies. Schreibe eine geeignete Funktion GE- MEINSAME.ELEMENTE.NEU. :

Aufgabe 3.59: Vergleiche die Laufzeiten aller GGT-Versionen, die wir besprochen haben. Betrachte verschiedene Werte von A und B. Lege eine Tabelle an.

Aufgabe 3.60: Beobachte, was passiert, wenn eine der Eingaben negatıv ıst. Baue die Funktionen so aus, daß man auch negative Zahlen eingeben kann. Verfahre da- bei wie im folgenden Beispiel:

gsT(12 , -18) = ggT(-12 , 18) = ggT(-12 , -18)=6 (Man kann diese Form des GGT beim Kürzen von Brüchen gut gebrauchen).

Aufgabe 3.61: Angenommen, ein Zahlenpaar zwischen I und 1000 wird in zufälli- ger Weise ausgewählt. Schätze die Chancen dafür, daß die Zahlen teilerfremd sind (d.h. den größten gemeinsamen Teiler | haben).

Aufgabe 3.62: Schreibe eine Funktion, die systematisch alle Zahlenpaare zwischen | und 1000 durchprüft und so den Anteil der teilerfremden Paare ermittelt.

Wenn man über einen Computer verfügt, dann kann man für viele Probleme, die man sonst vielleicht gar nicht lösen kann, eine angenäherte Antwort durch Anwen- dung eines Simulationsverfahrens (vgl. Kapitel 6) gewinnen. Wir wollen am Beispiel des letzten Problems einmal zeigen, wie so etwas funktioniert.

Logo verfügt über das Grundwort ZUFALLSZAHL (kurz ZZ). Dieser Befehl er- wartet als Eingabe eine natürliche Zahl. Der Aufruf ZUFALLSZAHL :N liefert dann eine zufällig ausgewählte Zahl zwischen 0 und :N-1 (jeweils einschließlich der Grenzen). Wie es der Computer, bei dem ja eigentlich alles streng logisch vorgehen sollte, fertig bringt, Zahlen zufällig auszuwählen, wollen wir hier nicht weiter ver- folgen. Wir sehen es einfach als gegeben an, daß er das kann.

Hier ein kleines Experiment mit den Zufallszahlen:

ZZ 100 ERGEBNIS: 27

WH 5 [ DZ ZZ 1000 ] 857

Wenn der Befehl ZUFALLSZAHL 1000 Zahlen zwischen 0 und 999 liefert, dann ergibt der Ausdruck ( 1 + ZUFALLSZAHL 1000 ) bei jedem Aufruf eine Zahl zwischen I und 1000. Wir können diese Zahlen direkt in die GGT-Funktionen einspeisen:

GGT (1+ZZ 1000) (1+ ZZ 1000 ) ERGEBNIS: 6

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Dieses Ergebnis könnte zum Beispiel dadurch zustande gekommen sein, daß der er- ste Aufruf von (l + ZZ 1000 ) die Zahl 666 und der zweite Aufruf die Zahl 78 er- geben hat.

Aufgabe 3.63: Schreibe eine Simulationsprozedur, die am laufenden Band den GGT von zwei zufällig ausgewählten Zahlen berechnet, feststellt, ob die Zahlen teiler- fremd sind oder nicht und die Anzahl der teilerfremden Paare zur Gesamtzahl der Versuche ins Verhältnis setzt. Vergleiche das Ergebnis des Simulationslaufes mit deinem Schätzwert (siehe Aufgabe 3.61).

Aufgabe 3.64: Die folgenden Zahlen sind ein Anfangsstück aus der Folge der Fibo- nacci-Zahlen (nach Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, ca. 1170 - 1240):

1123583 3213459» 144 233

(a) Formuliere ein Bildungsgesetz für die Fibonacci-Zahlen.

(b) Schreibe eine Logo-Funktion FIB :N, welche die. :N-te Fibonacci-Zahl als Ausgabe hat.

(ce) Untersuche die Teilbarkeitsverhältnisse bei den Fibonacci-Zahlen. Hier ein Beispiel: In der obigen Folge scheinen aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen teiler- fremd zu sein. Ist das allgemein so?

(d) Spiele den Euklidischen Algorithmus in der Subtraktionsform (von Hand und "per Programm" beı eingeschaltetem Protokollmodus) mit benachbarten Fibonacci- Zahlen durch. Was stellst du fest?

Aufgabe 3.65: Einige der in diesem Abschnitt besprochenen Prozeduren liegen in mehreren Versionen vor. Entscheide dich jeweils für eine lauffähıge "Arbeitsversion", gib ihr einen prägnanten Namen und füge sie den bisherigen Pro-

zeduren der Teilbarkeits-Bibliothek hinzu. (Du kannst dabei entsprechend vorgehen wie in Aufeabe 3.46).

3.5 Das kleinste gemeinsame Vielfache

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen hängt eng mit ihrem kleinsten gemeinsamen Fielfachen (kgV) zusammen. Zur Bestimmung der Vielfachen können wir die Prozeduren aus Abschnitt 3.2 verwenden.

Die Vielfachen der Zahl 4 sind zum Beispiel:

48 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 ...

Die Vielfachen der Zahl 6 sind

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 ...

Gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 sind

12 24 36 48 60 72...

Und das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist schließlich die Zahl 12. Aufgabe 3.66: Am obigen Beispiel scheinen alle gemeinsamen Vielfachen von 4 und

6 zugleich auch Vielfache von 12, also des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, zu sein. UÜberprüfe dies an weiteren Beispielen.

86

Während jede Zahl nur endlich viele Teiler hat, hat sie unendlich viele Vielfache. Kann es in ungünstigen Fällen passieren, daß wir "unendlich" lange suchen müssen, um ein gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen a und b zu finden? Nein! Denn auf jeden Fall ist das Produkt a * b dieser Zahlen ein gemeinsames Vielfaches. Das Produkt a * b ist sicher ein Vielfaches (nämlich das b-fache) der Zahl a und ebenfalls ein Vielfaches (nämlich das a-fache) der Zahl b. Unter Umständen ist es aber nicht das kleinste unter den Vielfachen, wie zum Beispiel im Falle a=4 und b=6, wo das Produkt 4 * 6 gleich 24, das kleinste gemeinsame Vielfache aber gleich 12 ist. Auf jeden Fall können wir beruhigt sein: um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen a und b zu finden, müssen wir schlimmstenfalls alle Zahlen zwischen I und a * b durchprobieren.

Die in der folgenden Aufgabe genannten Prozeduren kennen wir ın ähnlicher Form schon aus dem vorigen Abschnitt über den größten gemeinsamen Teiler. Meist muß man dabei nur schon bekannte Funktionen miteinander kombinieren,

Aufgabe 3.67: Schreibe die folgenden Funktionen GEMEINSAME.VIELFACHE :A :B :OBERGRENZE KLEINSTES.ELEMENT :L KLEINSTES.GEMEINSAMES.VIELFACHES :A :B Hinweis: Du kannst alle bisher erarbeiteten Funktionen benutzen; zum Beispiel auch die Funktion VIELFACHE :A :OBERGRENZE aus Abschnitt 3.2.

Aufgabe 3.68: Ähnlich wie beim größten gemeinsamen Teiler kann man auch das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen a und b über ihre Primfaktorzelegung ermitteln. Dies sei am folgenden Beispiel erläutert:

a = 1400 = 22 *#3*5*%5%*%7%*7 b = 3234 = 2* 3 * IE 7 & 4 kgV(a , b) = 2%2%*3*#5%*%5%*7%*7%* 11 = 161700

Schreibe eine Prozedur KGV.PFZ, mit der das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen über diese Primfaktor-Methode ermittelt wird.

Aufgabe 3.69: Überprüfe die folgende Tabelle mit den bisher erarbeiteten KGV- Funktionen und baue sie aus.

e I I 6 ! 6 - 6 4 16 | 2 ı 42 ! 24 ! 24 15 I 18 |] 3 I 90 | 270 : 270 88 I 24 | 8 I 264 \ 2112 : 2112

Tabelle 3.6 Betrachte weitere Beispiele. Stelle eine Vermutung auf.

Merke: Für den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlichen Zahlen a und b gilt die folgende Gesetzmäßigkeit:

gegT(a,b)*kgV(a,b) = a*’b

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Eine solche allgemeine Aussage kann natürlich nicht durch die Betrachtung von Beispielen bewiesen werden, auch wenn es noch so viele sind.

Aufgabe 3.70: (Schwere Aufgabe für Liebhaber!) Versuche, eine allgemeingültige Begründung für das obige Gesetz zu geben. Hinweis: du kannst z.B. die Primfak- torzerlegung der Zahlen verwenden.

Mit Hilfe des obigen Gesetzes können wir jetzt die KGV-Funktion auf die GGT- Funktion zurückführen:

PR KGV :A :B RUECKGABE DIV (:A%* :B) (GET :A :B) ENDE

Noch einfacher geht es wohl kaum. Du siehst, es lohnt sich, gelegentlich etwas Mathematik zu treiben.

Aufgabe 3.71: Vergleiche die Laufzeiten der Funktionen KGV und KLEIN- STES.GEMEINSAMES.VIELFACHES. Lege eine Tabelle an.

Aufgabe 3.72: Beim Radrennen auf einer Radrennbahn fahren die Rennfahrer nä- herungsweise mit konstanter Geschwindigkeit. Fahrer A benötigst pro Runde 35 Se- kunden; Fahrer B 40 Sekunden. Sie starten zugleich auf der Start-und-Ziel-Linie. Nach welchen Zeiten treffen sie sich jeweils wieder auf der Start-und Ziel-Linie?

In Büchern zur Logo-Graphik findet man häufig Prozeduren der folgenden Art: PR POLY :5 :W VORWAERTS :5 RECHTS :W

POLY :5 :W ENDE

Hier einige Beispiele:

Bild 3.4: POLY-Beispiele

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Die Prozedur POLY ist endrekursiv. Sie enthält keine STOP-Bedingung und läuft endlos weiter. Im Laufe der Zeit überfährt der Igel nur noch Strecken, die er vor- her schon längst einmal gezeichnet hat. Wie kann man wissen, wann eine POLY-Fi- gur fertig ist? Dieser Frage wollen wir in den folgenden Aufgaben nachgehen.

Aufgabe 3.73: Beim Lauf von Poly entstehen Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, ... und Stern-Polygone (Polygon = Vieleck) mit verschiedener "Strahlenzahl". Wie hängt die Eckenzahl von den Eingaben :W und :S ab? Begründe, daß sie überhaupt nicht von :S, sondern nur von :W abhängt. Vervollständige die folgende Tabelle:

Eingabe-Winkel | entstandene Figur :W (in Grad) |

60 ı Sechseck

T2 | Fünfeck

90 ! Viereck

120 ! Dreieck

144 | 5-strahliger Stern 160 | 9-strahliger Stern 200 \ 9-strahliger Stern 220 | 18-strahliger Stern

Tabelle 3.7 Aufgabe 3.74: Baue in die Tabelle eine dritte Spalte mit der Überschrift "Winkel * Eckenzahl" ein und fülle sie aus. Was stellst du fest?

Aufgabe 3.75: Schreibe zu POLY eine zweite Prozedur ZOLY, bei der der Igel die Strecke :S nach jedem Vorwärts-Lauf sofort wieder zurück läuft.

F [LESTTULS III IT SITE PBTTETTETTTEETTETETEITELITTEESTETTESTITIS TEN [LES STTITESETLISSETITEZEITELEIITTEITTETETEI TEILEN ELITE ET

un. I re IE; m 4: „ft Er! BE Io 57 E ee ve i ie Fa nn i E ZOLY 60 650 zZOoOLY 80 90

Bild 3.5 a ZOLY-Beispiele

89

ZOLY 100 144% Bild 3.5 b: ZOLY-Beispiele

Aufgabe 3.76: Schreibe eine Prozedur DOLY, bei der die POLY- und dıe ZOLY- Figuren zeitlich parallel entstehen.

| Ä i nf = i f a a “ f ei n* | A eo W # Fä Fa .. ä F 5. E ä Fe Er ı Be £ FE - —_ ir Pa nn 5 p — er Pa Pa } 4 .% a 7% u, “ PO\ > ? % r f ‚, DoLY 70 200

Bild 3.6: DOLY-Beispiel

Wenn man in der vorigen Aufgabe nur mit einem Igel arbeitet, dann muß man ihn immer zwischen der POLY- und der ZOLY-Teilfigur hin- und her springen lassen. Damit man weiß, wo man das nächste Mal weitermachen muß, muß man sich vor dem Sprung jeweils die alte Position und Blickrichtung in der POLY- bzw. ZOLY- Figur merken. Wenn man zwei Igel hätte, die unabhängig voneinander arbeiten, ginge das einfacher. Man würde einfach einen Igel für die POLY- und einen zweiten Igel für die ZOLY-Figur nehmen. Solche mehrfachen Igel gibt es im Commodore-Logo in Form von sprites (deutsch: Feen). Hier eine Sprite-Lösung unserer DÖLY-Prozedur.

PR DOLY.SPRITE ;:5 :W BILD AN 0 AUFKURS O0 STIFTHOCH ( AUFXY 50 0 ) STIFTAB AN 1 AUFKURS O0 STIFTHOCH ( AUFXY (-50) O0 ) STIFTAB DOLY.SPRITE.1l :;:5 :W ENDE

90

PR DOLY.SPRITE.1 :5 :W AN 0

VORWAERTS :5

RECHTS :W

AN 1

VORWAERTS :S5 RUECKWAERTS :5

RECHTS :W DOLY.SPRITE.1 :5 ;:W ENDE

Erläuterungen zur Prozedur DOLY.SPRITE: Durch den Befehl BILD wird der Gra- phik-Bildschirm eingeschaltet und der Igel in die Mitte (Punkt 0;0) gesetzt. Durch den Befehl AN :N wird die Fee (sprite) Nr. :N aktiviert. Alle Igelbefehle werden bis zum nächsten AN-Befehl von dieser Fee ausgeführt. Der Wert von !N darf zwischen 0 und 7 liegen. Fee Nr. O0 ist der gewöhnliche Igel. Mit Hilfe der Routi- nen, die auf der Logo-Utilities-Diskette in der Datei SPRITES gespeichert sind, kann man den Feen verschiedene Formen geben. Im obigen Fall hat Fee Nr. | keine Form; sie ist unsichtbar und verhält sich ähnlich wie der gewöhnliche Igel, wenn man ihn mit Hilfe des Befehls VERSTECKIGEL (kurz VI) unsichtbar ge- macht hat.

Der Befehl AUFKURS :R bewirkt, daß sich die angesprochene Fee ın die Rich- tung :R dreht. Richtung 0 ist "Norden", Richtung 90 ist "Osten", Richtung 180 ıst "Süden" und Richtung 270 ist "Westen". Auch ganzzahlige Zwischenwerte sind als Windrosenwerte möglich.

Der Befehl STIFTHOCH bewirkt, daß sich die Fee bewegt, ohne eine Spur hinter sich herzuziehen. Nach STIFTAB wird wieder eine Spur gezogen. Der Befehl AUFXY setzt die aktive Fee auf die angegebenen Koordinaten.

Die Hilfsprozedur DOLY.SPRITE.| ist wieder endrekursiv.

Aufgabe 3.77: Rufe die Prozedur DOLY.SPRITE ım Protokollmodus auf und be- obachte genau, wie die Linien gezogen werden.

Aufgabe 3.78: Falls du mit Aufgabe 3.74 noch nicht ganz klar gekommen bist, dann versuche, sie jetzt zu beantworten.

Aufgabe 3.79: Wie müßte eine STOP-Bedingung für die POLY-Prozedur aussehen, damit jede Linie des Vielecks genau einmal überfahren wird?

Aufgabe 3.80: Entscheide dich, welche der Funktionen dieses Abschnitts du in die Teilbarkeits-Bibliothek aufnehmen willst. Bereinige die augenblickliche Arbeitsum- gsebung und füge die neuen Prozeduren zur Datei TEILBARKEIT hinzu. (Du kannst entsprechend vorgehen wie in Aufgabe 3.65).

91

Kapitel 4: Brüche und Anwendungen

4.1 Brüche

Ein Bruch besteht im wesentlichen aus zwei Dingen: einem Zähler und einem Nen- ner. Üblicherweise schreibt man einen Bruch etwa so:

3

Dabei ist dıe Zahl 3 der Zähler und die Zahl 4 der Nenner. Der Bruchstrich dient dazu, den Zähler deutlich vom Nenner zu trennen. In Logo ist es sinnvoll, den Bruch als eine Liste zu schreiben, die aus zwei Elementen besteht: Das erste Ele- ment ist der Zähler, das letzte der Nenner. Der obige Bruch sieht dann in Logo so aus:

[3 4]

Unser Ziel ist es, Logo die Anfangsgründe der Bruchrechnung beizubringen. Dazu gehört auch, daß man Brüche zerlegen und zusammensetzen kann. Hier einige grundlegende Hilfsfunktionen zur Bruchrechnung:

PR ZAEHLER :BRUCH RUECKGABE ERSTES :BRUCH ENDE

PR NENNER :BRUCH RUECKGABE LETZTES :BRUCH ENDE

PR BRUCH :A :B WENN :B=0 DANN DRUCKEZEILE [ NENNER NULL ! ] AUSSTIEG

RUECKGABE ( LISTE :A :B) ENDE Hier einige Beispiele im Direktbetrieb:

ZAEHLER [5 7] ERGEBNIS: 5

NENNER [19 128 ] ERGEBNIS: 128

BRUCH 13 24 ERGEBNIS: [13 24]

BRUCH 5 0 NENNER NULL !

ZAEHLER BRUCH 4 9 ERGEBNIS: 4

92

Was die Funktionen ZAEHLER und NENNER machen, ist wohl klar. Die Funktion BRUCH fügt ihre beiden Eingabewerte zu einem Bruch (in Listendarstellung) zu- sammen.

Nun zum Rechnen mit Brüchen. Wenn man zwei Brüche addieren will, dann schreibt man das meist so:

2 12 82

m + — — |

15 33 165

In Logo können wir das Rechenzeichen nicht zwischen die Brüche setzen; wir müs- sen statt dessen eine Funktion schreiben, die als Eingabeparameter die beiden Brü- che hat. Etwa so:

BRUCH.ADD [ 2 15] [12 33] ERGEBNIS: [ 82 165 ]

Der Funktionsname BRUCH.ADD steht dabei für "Bruchaddition". Die anderen Grundrechenarten für die Brüche wollen wir mit BRUCH.SUB, BRUCH.MULT und BRUCH.DIV bezeichnen.

PR BRUCH.ADD :R :S5

RUECKGABE BRUCH ( ( ZAEHLER :R ) * ( NENNER :S ) + __ ( ZAEHLER :S ) * ( NENNER :R ) )

( NENNER :R ) * ( NENNER :S )

en

ENDE

Die Eingabeparameter :R und :S sollen Variable für Brüche darstellen; zum Bei- spiel :R=[2 15] und S=[12 33].

BRUCH.ADD [ 2 15] ae 3% 7 ERGEBNIS: [ 246 495 ]

Das Ergebnis liegt noch nicht ganz in der gewünschten Form vor. Wir sollten noch kürzen. Hierfür ist die GGT-Funktion aus Kapitel 3, Abschnitt 3.4 sehr nützlich.

PR KUERZEN :B

LOKAL "2

SETZE "Z ZAEHLER :B LOKAL "N

SETZE "N NENNER :B LOKAL "D

SETZE "D GGCT (ABS :Z) (ABS :N) RUECKGABE BRUCH ( DIV :Z2 :D) (DIV :N :D) ENDE

KUERZEN [ 246 495 ] ERGEBNIS: [ 82 165 ]

Aufgabe 4.1: Schreibe eine Version von KUERZEN, bei der dafür gesorgt wird, daß der Nenner des Ergebnisses stets als positive Zahl erscheint, Zum Beispiel so:

KUERZEN [ A -6 ] ERGEBNIS: [ -2 3]

93

Aufgabe 4.2: Baue die Funktion KUERZEN so in die BRUCH.ADD-Funktion ein, daß das Ergebnis gleich in gekürzter Form ausgegeben wird.

Aufgabe 4.3: Selbst die verbesserte BRUCH.ADD-Version weist noch Schwachstel- len auf. Die Zwischenergebnisse können unnötig groß werden. Schreibe eine Funktion HAUPTNENNER und baue sie so in die Funktion BRUCH.ADD ein, daß mit möglichst kleinen Zwischenergebnissen gerechnet wird.

Aufgabe 4.4: Schreibe Funktionen NEGATIV :B BRUCH.SUB :R 5:5 BRUCH.MULT :R 5 BRUCH.GROESSER? :R :5 BRUCH.KLEINER? :R :5 BRUCH.GLEICH? :R :S

Zur Division sollte man den Kehrwert benutzen:

PR KEHRWERT :B RUECKGABE BRUCH ( NENNER :B ) ( ZAEHLER :B ) ENDE

KEHRWERT [5 7] ERGEBNIS: [75]

Dann läßt sich die Funktion BRUCH.DIV so schreiben:

PR BRUCH.DIV :R :;:5 RUECKGABE BRUCH.MULT :R KEHRWERT :5 ENDE

Aufgabe 4.5: Die Funktion KEHRWERT enthält noch eine Schwachstelle; welche wohl? Verbessere dies!

Logo beherrscht jetzt die Anfangsgründe der Bruchrechnung. Aber damit ist der Bereich der Bruchrechnung noch längst nicht erschöpft. Hier einige Übungen für fortgeschrittene Logo-Programmierer.

Aufgabe 4.6: Schreibe eine Version von KUERZEN, die völlig ohne die Hilfs- variablen Z, N und D auskommt.

Aufgabe 4.7: Baue die Funktionen zur Bruchrechnung so aus, daß Logo auch Dop- pel- und Mehrfachbrüche verarbeiten kann. Zum Beispiel so:

In der üblichen Schreibweise sieht die letzte Rechnung so aus:

94

Aufgabe 4.8: Baue die Bruchrechnung so aus, daß Logo auch Dezimalbrüche verar- beiten kann. Dazu gehört natürlich die Umwandlung von Dezimalbrüchen in ge- wöhnliche Brüche.

Aufgabe 4.9: Schreibe eine Prozedur DEZIMALBRUCH.AUSDRUCK zur Darstel- lung von gewöhnlichen Brüchen als Dezimalbrüche; zum Beispiel so: DEZIMALBRUCH.AUSDRUCK [| 7] 0.142857142857142857 ...

Aufgabe 4.10: Schreibe eine Funktion DEZIMALBRUCH zur Umwandlung eines gewöhnlichen Bruches in einen Dezimalbruch; etwa so:

DEZIMALBRUCH [5 8]

ERGEBNIS: [0,625]

DEZIMALBRUCH [51 14]

ERGEBNIS: [3,6 PERIODE 428571] Untersuche, wann es zu periodischen Dezimalbrüchen kommt.

Aufgabe 4.11: (a) Schreibe eine Funktion EULER :N, welche die Anzahl der zwi- schen 1 und :N liegenden zu :N teilerfremden ganzen Zahlen ermittelt. (Du kannst natürlich alle notwendigen oder hilfreichen Funktionen aus Kapitel 3 benutzen). Hier einige Aufrufe von EULER:

EULER 10

ERGEBNIS: 4 (nämlich: 1, 3, 7 und 9) EULER 7

ERGEBNIS: 6 (nämlich 1,2, 3,4, JS und 6 )

(b) Stelle eine Tabelle der folgenden Art auf:

Bruch ! Nenner (:N) ! EULER :N ! Periodenlänge EL 33 3 ! 2 i [ı 6) ı 6 2 | 1 f3 ©7104 7 | 5 6 fi 87 | 9 6 ! ai E33 317 | 11 | 10 2 ri 1337 {ı 13 | 12 6

Betrachte weitere Beispiele. Untersuche, wie die Periodenlänge mit dem Wert der EULER-Funktion zusammenhängt.

Aufgabe 4.12: Erweitere die Bruchrechen-Funktionen so, daß Logo auch mit

"semischten Brüchen" rechnen kann; also mit Brüchen der Form 2 1/4 («2 + 1/4 = 9/4) usw.

95

4.2 Mischungsrechnung

Sabine hat eine Flasche Sirup gekauft. Durch Verdünnen mit Wasser kann sie ihr Lieblingsgetränk herstellen. Damit die Mischung gut schmeckt, muß sie etwa einen Teil Sirup mit fünf Teilen Wasser mischen. Die Konzentration des Sirups ist dann "eins zu sechs", also 1/6 oder etwa 16.7 %. Die folgende Funktion gibt jeweils als Funktionswert die Konzentration des Sirups zurück:

PR KONZENTRATION :TEILE.SIRUP :TEILE.WASSER RUECKGABE :TEILE.SIRUP / (:TEILE.SIRUP + :TEILE.WASSER) ENDE

Einige Beispiele:

KONZENTRATION 1 4 ERGEBNIS: 0.2 (entspricht 20 %)

KONZENTRATION 3 8 ERGEBNIS: 0.272727

KONZENTRATION I 0 ERGEBNIS: | (entspricht 100 %)

Für eine Geburtstagsfeier will Sabine 6 Liter des Getränks mit einer Konzentration von 15 % herstellen. Wie muß sie den Sirup mit dem Wasser mischen?

Aufgabe 4.13: (a) Spiele etwas mit der Funktion KONZENTRATION und versuche dadurch, das geeignete Mischungsverhältnis herauszufinden.

(b) Berechne aus dem Mischungsverhältnis die Sirup- und die Wassermenge, die notwendig sind, um 6 Liter Mischung herzustellen.

Manchmal kommt man durch etwas Nachdenken eher zum Ziel. In einer 15-pro- zentigen Lösung kommen doch offenbar 15 Teile Sirup auf 85 Teile Wasser. Das Mischungsverhältnis muß also 15 : 85 oder 3 : 17 sein, Damit besteht die Mischung aus (3/20) * 6 Litern Sirup und (17/20) * 6 Litern Wasser, also aus 0.9 Litern Sirup und 5.1 Litern Wasser.

Sabine wollte aber gleich mit den Flüssigkeiten selbst experimentieren und war da- bei etwas voreilig. Jetzt steht sie mit je einem 5-Liter-Gefäß aus 12-prozentiger und 26-prozentiger Mischung da. Wie müßte sie diese beiden Konzentrationen zu- sammenmischen, um eine 15-prozentige Konzentration zu bekommen?

Wenn sie die beiden Mischungen zu gleichen Anteilen vermischen würde, müßte der Grad der neuen Konzentration in der Mitte zwischen den alten Konzentrationen, also bei 19 Prozent liegen. Der Anteil der l2-prozentigen Mischung muß also er- höht und der Anteil der 26-prozentigen Mischung verringert werden.

Nehmen wir einmal an, Sabine mischt a Teile der l2-prozentigen Mischung mit b Teilen der 26-prozentigen Mischung zusammen. In den a Teilen der 12-prozentigen Mischung sind

12

au — Teile Sirup 100

und in den b Teilen 26-prozentiger Mischung sind

96

26 br — Teile Sirup 100

enthalten. Insgesamt besteht die neue Mischung also aus

12 26 ar — + br — Teilen Sirup. 100 100

Da die neue Gesamtmischung aus (a + b) Teilen Flüssigkeit besteht, beträgt die Konzentration der neuen Mischung:

12 26 Er — + De 100 100 k =: Su atb

Aufgabe 4.14: Berechne aus dieser Gleichung für k=15/100 und a+b=6 die Werte für aund b.

Manchmal werden solche Rechnungen durchsichtiger, wenn man sie mit Variablen an Stelle von festen Zahlenwerten durchführt. Wir wollen also einmal an Stelle der im obigen Beispiel gegebenen Konzentrationen folgende Variable verwenden:

k1 an Stelle von 12 % k2 an Stelle von 26 $% K an Stelle der "Zielkonzentration" von 15 3%

Dann lautet die letzte Gleichung

a * kl + b*# K2

k = (**) a+tb Hieraus folgt sofort (a+b)"*k = a’kl + b’R beziehungsweise a*(k-kl) = b*(k2-k) und schließlich: a (Kk2 = 5) a u EUIEPFEEEE (***) b (k - kl)

Mit Hilfe von dieser Gleichung können wir nun leicht eine Logo-Funktion schrei- ben, die uns das gesuchte Mischungsverhältnis als Funktionswert zurückgibt:

PR MISCHUNGSVERHAELTNIS :Kl :K2 :K

RUECKGABE (:K2 - :K) / (:!K - :Kl) ENDE

97

Ein Beispiel:

MISCHUNGSVERHAELTNIS I2 26 15 ERGEBNIS: 3,66666

Das heißt, wir müssen 3.66666 Teile der 12-prozentigen mit einem Teil der 26- prozentigen Lösung mischen. Probe (auch im Logo-Direktbetrieb möglich):

(3.66666 * 12/100 + 1 * 26/100 ) / 4.66666 = 15/100

Bei manchen Anwendungen kommen die Konzentrationen nur als ganzzahlige Pro- zentzahlen vor, und man möchte das Mischungsverhältnis auch als echten Bruch ha- ben. Mit unseren Kenntnissen aus der Logo-Bruchrechnung ist dies ebenfalls ganz einfach zu erreichen.

PR MISCHUNGSVERHAELTNIS. BRUCH :Kl :R2 :K RUECKGABE KUERZEN BRUCH (:K2 - :K) (3£ - iK]) ENDE

Beispiel:

MISCHUNGSVERHAELTNIS.BRUCH 12 26 15 ERGEBNIS: [11 3]

Probe: 11 / 3 = 3.66666

Der in der Formel (***) steckende Sachverhalt wird manchmal in der Form des Mi- schungskreuzes dargestellt. Hier zunächst ein Beispiel mit den festen Zahlen von oben:

12_ 26-15 = 11 Phi

5 un

Ergebnis: Um die Ausgangslösungen von 12-prozentiger und 26-prozentiger Kon-

zentration zu einer 15-prozentigen Lösung zusammenzumischen, benötigt man || Teile der 12-prozentigen und 3 Teile der 26-prozentigen Lösung.

l W

26

Hier das allgemeine Schema (dabei sei k2 > kl):

k2 K- kl

kl

Ergebnis: Um die Ausgangslösungen der Konzentration kl und k2 (in Prozent) zu einer k-prozentigen Lösung zusammenzumischen, benötigt man (k2 - k) Teile der Konzentration kl und (k - kl) Teile der Konzentration k?2.

98

Aufgabe 4.15: Schreibe eine Funktion MISCHUNGSMENGEN :Kl :K2 :K :GESAMTMENGE ,

die als Zweierliste die beiden zusammenzumischenden Mengen zurückgibt; zum Beispiel:

MISCHUNGSMENGEN 12 26 15 6 ERGEBNIS: [ 4.71428 1.28571 ] (Beachte den Rundungsfehler).

Aufgabe 4.16: Eine Küchenspüle hat zwei Zuleitungen. Aus der einen kommt heißes Wasser von 60 Grad und aus der anderen kaltes Wasser von 15 Grad. In welchem Verhältnis muß man die Wassermengen mischen, um Spülwasser von 30 Grad zu bekommen?

Aufgabe 4.17: Wieviel destilliertes Wasser muß man zu 300 mil 90-prozentigem Äthylalkohol hinzugießen, damit man eine 40-prozentige Lösung erhält?

Aufgabe 4.18: Aus 60 kg Messing mit 72 % Kupfergehalt soll durch Hinzuschmel-

zen von Messing mit 56 % Kupfergehalt Messing mit 60 % Kupfergehalt hergestellt werden.

99

4.3 Zinseszinsen und geometrisches Wachstum

Ein Hinweis zum Begriff des Prozentsatzes: Bei einem Zinssatz von 4.5 % betragen die Jahreszinsen eines Kapitals von 200 DM:

4.5 % von 200 DM

200 * 4.5 * 1/100 DM 200 * 4.5 / 100 DM 200 * 0.045 DM

9 DM

Die Sprechweise "4.5 % von etwas" bedeutet also dasselbe wie "4.5 Hundertstel von etwas" oder "das 0.045-fache von etwas",

In Programmen zur Zinsrechnung taucht als Eingabewert oft ein Zinssatz auf (wie zum Beispiel oben in der Funktion NEUER.KONTOSTAND). Logo erwartet, daß dieser Parameter durch eine Zahleneingabe bestückt wird; also nicht etwa durch eine Eingabe der Art "4.5%" oder "4.5 PROZENT". Das heißt, der Aufruf darf nicht lauten:

NEUER.KONTOSTAND 200 4.5% bzw, NEUER.KONTOSTAND 200 4.5 PROZENT

Was ist aber die richtige Zahl, die wir eingeben müssen, um einen Prozentsatz von 4.5 Prozent zu beschreiben? Nun, nach dem oben Gesagten eigentlich 0.045. Doch dies ist etwas ungewohnt. Die Eingabe 4.5 erscheint "natürlicher" als die Eingabe 0.045. Wir können uns damit aus der Klemme helfen, daß wir vereinbaren:

Jegliche Eingabe von Prozentsätzen erfolgt in Prozent, also in Hundertsteln,

Dann müssen wir tatsächlich 4.5 eingeben, denn 4.5 Hundertstel sind ja gerade 4.5 Prozent. Wir wollen diese Vereinbarung durchweg einhalten.

Nimm einmal an, einer deiner Vorfahren hätte zu Christi Geburt auf deinen Namen einen Pfennig bei einem Zinssatz von | % angelegt. Hättest du gedacht, daß dieser Einsatz durch Zinseszinsen im Jahre 1985 auf etwa 3 782 400 DM angewachsen wäre, wenn ... ?

Aufgabe 4.19: Schreibe auf, was oben nach "wenn ... " alles stehen müßte.

Aufgabe 4.20: Anke eröffnet ein Sparbuch mit 200 DM zum Zinssatz von 4.5 %. Sie hebt nichts ab,

(a) Gib den Kontostand nach einem Jahr an.

(b) Gib den Kontostand nach Ablauf des zweiten, dritten, vierten Jahres an.

(c) Überprüfe die folgende Rechnung. Dabei seien Kl, K2, K3 und K4 die Kontostände nach einem, zwei, drei und vier Jahren (in DM).

K1 = 200 * 1.045 K2 = K1 * 1.045 K3=K2 %# 1.045 KR4 = K3 * 1.045

Begründe, warum man so rechnen darf.

100

Die folgende Funktion berechnet jeweils den Kontostand nach Ablauf eines Jahres:

PR NEUER.KONTOSTAND RUECKGABE

ENDE

NEUER.KONTOSTAND 200 4.5 ERGEBNIS: 209

NEUER.KONTOSTAND 209 4.5

ERGEBNIS: 218.405

NEUER.KONTOSTAND ( NEUER.KONTOSTAND 200 4.5) 4.5

ERGEBNIS: 218.405

Aufgabe 4.21:

Verfolge den letzten Aufruf im Protokoll-Modus.

: ZINSSATZ

:ALT * ( 1 + :ZINSSATZ / 100

Vergleiche ıhn

mit dem vorletzten Aufruf. Erkläre im einzelnen, wie Logo diesen Aufruf abar-

beitet.

Mit dem folgenden Programm können wir den Verlauf der Zinseszinsberechnung

über einen längeren Zeitraum verfolgen:

PR ZINSESZINSTABELLE ZINSESZINSTABELLE.HP

ENDE

PR ZINSESZINSTABELLE.HP :L DANN RUECKKEHR

WENN :I >

( DRUCKEZEILE :I

ENDE

Ein Beispiel:

ZINSESZINSTABELLE 6) 200

1 209

2 218.404 3 228.233 4 233.503 5 249.236 6 260.451 7 erst l 8 284.419 9 297.218 10 310.593 1L 324.569 12 339.173 13 354.437 14 370.387 15 387.054 16 404.472

Ankes Anfangskapitel hat sich also nach etwa 16 Jahren verdoppelt.

: LAUFZEIT : LAUFZEIT

:ANFANGSKAPITAL :ANFANGSKAPITAL

:KAPITAL ) ZINSESZINSTABELLE.HP (:K * (1 + :ZS/100))

0

:25 :L: (Il)

101

Aufgabe 4.22: Ermittle durch Experimente die Zeiten, nach denen sich das An- fangskapital in den folgenden Situationen verdoppelt:

Anfangskapital | Zinssatz (in DM) (in %) LlOO | 2 200 | 2 300 ! 2 100 ! 3 200 ! 3 300 ! 3 100 | 4 200 ! & 300 4

Tabelle 4,2

Aufgabe 4.23: Zeige, daß die Zeit, nach der sich ein Anfangskapital verdoppelt (die Verdopplungszeit) nur vom Zinssatz und nicht vom Anfangskapital selbst ab- hängt.

Aufgabe 4.24: Schreibe eine Funktion VERDOPPLUNGSZEIT :ZS, die zu jedem eingegebenen Zinssatz die Verdopplungszeit (in ganzen Jahren) ermittelt. Ein Auf- rufbeispiel:

VERDOPPLUNGSZEIT 4.5

ERGEBNIS: 16

Aufgabe 4.25: (a) Schreibe eine Prozedur VERDOPPLUNGSTABELLE, mit deren Hilfe du eine Tabelle der folgenden Art herstellen kannst.

ZINSSATZ VERDOPPLUNGSZEIT (IN %) (IN GANZEN JAHREN) 0.5 139 1 70 1.5 47 | [3 7.5 ! 10

Tabelle 4.3: Tabelle der Verdopplungszeiten

(b) Statte VERDOPPLUNGSTABELLE mit den Eingabeparametern :ANFANG, :SCHRITTWEITE und :ENDE aus, die es erlauben eine derartige Tabelle in beliebi- gen Grenzen und mit beliebiger Schrittweite zu erstellen.

(c) Füge den Tabellen eine dritte Spalte mit der Überschrift "ZINSSATZ * VER- DOPPLUNGSZEIT" hinzu und fülle diese Spalte (natürlich "per Programm") aus. (d) Versuche, für "kleine" Zinssätze bis etwa zu 7.5 % eine näherungsweise gültige Faustregel über das Produkt aus Zinssatz und Verdopplungszeit zu formulieren.

Aufgabe 4.26: Auf welchen Betrag wäre der zu Christi Geburt eingezahlte Pfennig bei einem Zinssatz von 3 % (bzw. 5 %) angewachsen?

102

Geometrisches Wachstum

Es sei B irgendeine Größe (zum Beispiel eine Bevölkerungszahl), die sich im Laufe der Zeit verändern kann. Man gibt dann die verstrichenen Zeiteinheiten jeweils in einer Klammer an: Zum Zeitpunkt O (z. B. im Ausgangsjahr) hat B den Anfangs- wert B(0). Mit B(1), B(2), B(3), ... wird der Wert der Größe nach einer, zwei, drei, „. Zeiteinheiten (z.B. Jahren) bezeichnet. Allgemein gibt B(n) den Wert der Größe B nach Ablauf von n Zeiteinheiten an.

Wenn sich die Größe B in gleich langen Zeitspannen immer um den gleichen Faktor ändert, dann sagt man: "Die Größe B wächst geometrisch". Falls dieser (Wachstums-) Faktor z.B. gleich q ist, dann bedeutet dies:

B(1) = q* B(0)

B(2) = q* B(l)

B(3) = q* B(2)

allgemein:

B(n) = q* B(n-l) (*)

Wenn wir mit einem festen Anfangswert B(0) anfangen, können wir bequem die Werte der Folge B(n) "hochrechnen"., Nehmen wir das Beispiel aus Aufgabe 4.20. In diesem Fall war B(0) = 200 und q = 1.045.

B(l) = q*B(0) = 1.045 * 200 = 209

B(2) = q* B(l) = 1.045 * 209 = 218.404 B(3) = q*# B(2) = 1.045 * 218.404 = 228.233 B(4) = q*B(3) = 1.045 * 228.233 = 238.503

“= = =

Wenn das Gesetz (*) gilt, dann nennt man die Folge der Werte B91,.BUl) BE), m u B(n), ... eine geometrische Folge.

Aufgabe 4.27: Schreibe eine Prozedur GEOMETRISCHE.FOLGE.AUSDRUCK :ANFANGSWERT :Q,

mit der du die Glieder der angegebenen geometrischen Folge der Reihe nach aus- drucken kannst.

Aufgabe 4.28: Schreibe eine Funktion GEOMETRISCHE.FOLGE :ANFANGSWERT :Q :OBERGRENZE ,

die als Ausgabe eine Liste mit den Elementen der entsprechenden geometrischen Folge bis zur angegebenen Obergrenze hat.

Aufgabe 4.29: Schreibe eine Funktion GEOMETRISCHE.REIHE.AUSDRUCK :ANFANGSWERT :Q,

mit der du die aufsummierten Glieder der angegebenen geometrischen Folge aus- drucken kannst. Zum Beispiel so:

103

GEOMETRISCHE.REIHE.AUSDRUCK 1 0.5

LFD. FOLGEN- REIHEN- NR.: WERT WERT

1 L

2 0.5 5

3 0.25 75

Ö 0.125 875

Aufgabe 4.30: Schreibe eine Funktion

GEOMETRISCHE.REIHE :ANFANGSWERT :Q :OBERGRENZE ,

die als Ausgabe eine Liste mit den Elementen der entsprechenden geometrischen

Reihe bis zur angegebenen Obergrenze hat.

Aufgabe 4.31: (a) und (b) wiedergegeben sind. Wachstumsprozesse angesprochen.

In der Zeitung kannst du häufig Meldungen der Art lesen, wie sie in In beiden Zeitungsausschnitten werden bestimmte Versuche, die Zeitungsberichte mit den in diesem Abschnitt entwickelten Werkzeugen zu analysieren.

Suche nach weiteren solchen

Zeitungsmeldungen in der Tageszeitung deiner Eltern und analysiere die Berichte.

(a) Die Einwohnerzahl Chinas:

Die Einwohnerzahl Chinas scheint die Mil- liardengrenze überschritten zu haben, meldet der amerikanische Environmental Fund in seinen un- längst veröffentlichten „Weltbevölkerungsschär- zungen 1978“, Demnach hatte das bevölkerungs- reichste Land der Erde Mitte des Jahres rund 1 003 900 000 Einwohner; bei einer Wachstums- rate von 2,3 Prozent sollte es bis zum Jahr 2000 die 1,37-Milliarden-Grenze erreicht haben. Die derzeitige Erdbevölkerung wird auf 4,365 Mil- liarden geschätzt; bei einer Wachstumsrate von zwei Prozent würde dies 6,5 Milliarden Men-

104

schen zur Jahrtausendwende bedeuten — ein gegenüber älteren Schätzungen langsameres Wachstum. Als die am schnellsten wachsende Region gilt Mittelamerika mit 3,2 Prozent (West- europa: plus 0,3 Prozent; die Bundesrepublik: minus 0,2 Prozent). Die Bundesrepublik ist mit 61,3 Millionen Einwohnern in der Liste der be- völkerungsstärksten Länder auf Platz zwölf hinter Mexiko (65,8 Millionen) zurückgefallen; bis zum Jahr 2000 dürften weitere fünf bis acht Staaten vorrücken. Dann wird auch Indien, das jetzt 656. Millionen Menschen halier DEEEt, über der Milliardengrenze liegen.

(b) Rentner-Club und Stadt Köln streiten sich um Regenwürmer:

Rentner-Club und Stadt Köln streiten sich um Regenwürmer

Köln. (dpa) Es klingt eigent- lich eher wie eine Karnevalsposse, doch für die Beteiligten ist die Ge- schichte kein Spiel und schon gar nicht zum Lachen. Um eine Million Würmer geht der erbitterte Streit zwischen dem »Rentner-Aktiv- Club« aus der Eifel und der Stadt Köln.

Der seit Wochen währende Kampf um die Würmer hat sich mittlerweile so zugespitzt, daß sich das Kölner Landgericht wohl auf einen »Wurm-Prozed« ein- richten muß. Vermutlicher Streit- wert: 40 000 Mark.

Einst hatte sich die Kölner Ver- waltung eine Million der von den

Aufgabe 4.32:

"Machen Sie sich mitschuldig?" verteilt.

Rentnern in der Eifel gehegten und gepflegten Tierchen mitsamt ihrer heimatlichen Erde ausgelie- hen, zum Zwecke der Umwand- lung von Gartenabfall in Kom- post. Alles verlief erfolgreich. Doch als die Wurm-Liebhaber verabredungsgemäß ihre »Leih- gabe« wieder abholen wollten, war diese ausgerückt. Das Dilem-

ma begann,

Es folgten Mahnbriefe der Rentner, die infolge der enormen Vermehrung der Tierchen ihr An- recht auf inzwischen eine Mil- liarde Kompostwürmer betonten. Von der Stadt kamen juristische Expertisen, die von einer »be- stimmten Erdmenge« mit einer

Angaben. Baue das Wachstumsmodell aus.

Machen Sie sich mitschuldig?

Millonen

Katzen werden jedes Jahr geboren. Ende April

unerwünschter bis September, dar Hauptzeit für Katzangeburten, mu) man harrenloss

Katzen in Tierheimen sogar töten!

Weniger „glückliche“ Tiere streunen umher. Ein Teil von ihnen wird über- fahren, erschossen, mißhandelt, Viele landen als Versuchstiere in Labors.

»nicht genau bestimmten Anzahl Würmer« ausgingen und darauf hinwiesen, daß die Eifel-Tiere sich ja wohl mit ihren Kölner Art- genossen verbunden hätten. Wie also wollten die Rentner ihre Schützlinge finden? ı

Schließlich bot die Stadt eine Fuhre Komposterde mit einer un- gezählteri Menge Würmer an. Je- doch den Rentnern ist der »„Wurmbesatz« der Erde zuwenig. Ein Sprecher nach einem »Orts- termin« am Dienstag: »Solchen Mist habe ich zu Hause auch.« Überhaupt wollen sie jetzt keine Würmer mehr wiederhaben. Die einzige Alternative zu einem Ge- richtsverfahren heißt nach Anga- ben des Club-Gründers mittler- weile 40 000 Mark Schadenser- satz.

Vom Tierheim Reutlingen wurde das folgende Informationsblatt Analysiere die in diesem Blatt gemachten

Die Überiebenden worden sehr schnell geschlechisreif und gebären 5 oder 4 Kätzchen. So beginnt der Teufelskreis!

Jeder Katrenbesitzer, der sein Tier nicht sterilisieren lädt, macht sich mit- schuldig.

Denken Sis daran: der Nachwuchs, einer weiblichen Katze kann nach 10 Jahren über 80 Millionen Tiere betrageni!!

7 ee —— 2Jshren: 98

ee = Eee

} —— 3 Jahren: 2423318

re. - ge = 7 , = ea { ern 3% E Erle: — ahran: 13958230 Dee age — lahm } ee “ ye - Ace ı > | RIEF ET Bent ee 80 Million« TE EEG SERLOEWOH SENT STRICKEN OR IESCHT erregen a ee ee

Informationsblatt des Tierheims Reutlingen

105

Kapitel 5: Funktionen, Wertetafeln, Schaubilder

5,1 Wertetafeln

Jede Funktion stellt eine Zuordnung zwischen einem "Originalwert" (Urbild) und ei- nem "Funktionswert" (Bild) her. Das Urbild wird meist als Argument bezeichnet. Es hat sich eingebürgert, daß man in der Mathematik für Funktionen meist die Sym- bole f, 8, h, ... , für das Argument meist x und für den Funktionswert meist y ver- wendet. An Stelle der Aussage "dem Urbild x wird durch die Funktion f das Bild y zugeordnet" findet man auch die Sprechweisen "y ist der Funktionswert von f an der Stelle x" oder "x wird durch f auf y abgebildet"; in mathematischer Kurz- schrift:

I! x ——y oder: y=L(x)

Beispiele: y=f£f(x) =3#*#x+5 Ya ga) zer - Dar 4 9 y=-h(x) = x * sin(x)

Es gibt hauptsächlich drei Methoden, die Zuordnung von Argumentwerten zu Funktionswerten darzustellen: die Termdarstellung (siehe oben), Wertetafeln und Funktionsschaubilder. Wertetafeln werden in diesem, Funktionsschaubilder im nächsten Abschnitt behandelt.

Eine Wertetafel ist eine Tabelle, die aus zwei Spalten besteht. In der linken Spalte stehen die Argumente und in der rechten Spalte die zugehörigen Funktionswerte. Eın kleiner Ausschnitt aus der Wertetafel der Funktion f mit

yaflız)=-x*tx ("Quadratfunktion")

sieht zum Beispiel folgendermaßen aus:

“ in

=

in nn nn

136]

.

16

in

»UUNDDHHOO “ un {in

m; on

Tabelle 5.1

Wir wollen nun eine Prozedur schreiben, mit deren Hilfe wir solche Wertetafeln er- stellen können. Die Prozedur soll so aufgerufen werden:

WERTETAFEL :FUNKTIONSNAME :ANFANG :ENDE :SCHRITT

106

Hier kommt eine bei anderen Programmiersprachen unbekannte Stärke von Logo zum Ausdruck: Wir können die Funktion selbst (in der obigen Form zum Beispiel über ihren Namen) als Eingabeparameter an die Prozedur WERTETAFEL überge- ben. Bei praktisch allen anderen auf Mikrocomputern laufenden Programmierspra- chen ist eine derartige Vorgehensweise unmöglich. Dort braucht man für jede Funktion eine eigene Wertetafel-Prozedur (wobei man meist das alte Wertetafel-Pro- eramm neu editiert, die alte Funktion herausnimmt und an ihre Stelle die neue Funktion in den Prozedurtext hineinschreibt). Daß Logo in diesem Punkte so viel mächtiger ist als die übrigen Sprachen, liegt an den Möglichkeiten der Listenverar- beitung, an der Unterscheidung zwischen dem Namen und dem Wert von Variablen (für die das "Quoten" ausschlaggebend ist) und am TUE-Befehl.

Der TUE-Befehl von Logo

Mit Hilfe des TUE-Befehls können wir Ausdrücke auswerten, die in Listen ge- schrieben sind. Durch Beispiele wird wohl am ehesten klar, was damit gemeint ist.

TUE [3*4] ERGEBNIS: 12

TUE [QW 6.25 ] ERGEBNIS: 2.25

TUE [SIN 30] ERGEBNIS: 0.5

SETZE "X 77 TUE T3X * 1 ERGEBNIS: 289

TUE [8 +:X] ERGEBNIS: 25

SETZE "F [QW X]

WERT "F ( bzw. ;F) ERGEBNIS: [ QW X ]

ERSTES ;F ERGEBNIS: QW

LETZTES ;F ERGEBNIS: :X

WERT LETZTES :F ERGEBNIS: 17

TUE WERT "F ERGEBNIS: 4.12311

TUE: :F ERGEBNIS: 4.12311

107

QW 17 ERGEBNIS: 4.12311

Merke: Mit dem TUE-Befehl kann man die Auswertung von Listen erzwingen.

Wir wollen nun verschiedene Wertetafel-Prozeduren betrachten, die wir, wie üblich, durch Versionsnummern V1, V2, ... unterscheiden.

PR WERTETAFEL.V1 :FUNKTIONSNAME :ANFANG :ENDE :SCHRITT WERTETAFEL.V1.HP :FUNKTIONSNAME :ANFANG :ENDE :SCHRITT ENDE

PR WERTETAFEL.V1.HP :FN :X :ENDE :SCHRITT

WENN :X > :ENDE DANN RUECKKREHR

( DRUCKEZEILE :X LEERSTELLEN TUE WERT :FN ) WERTETAFEL.VI1.HP :FN ( :X + :SCHRITT ) :ENDE :SCHRITT

ENDE

LEERSTELLEN ist eine Hilfsfunktion, die ein aus drei Leerzeichen bestehendes Wort ausgibt:

PR LEERSTELLEN RUECKGABE ( WORT ZEICHEN 32 ZEICHEN 32 ZEICHEN 32 )

ENDE

ZEICHEN ist eine Logo-Grundfunktion. Der Aufruf ZEICHEN :N gibt als Funktionswert das Zeichen zurück, dessen "ASCII-Wert" die Nummer :N hat. Die ASCII-Werte sind in einer Tabelle, der "ASCII-Tabelle", aufgeschrieben (ASCII steht für "American Standard Code for Information Interchange"; also; amerikani- scher Standard-Code für den Informationsaustausch), Du findest sie in deinem Handbuch. Das Leerzeichen hat den ASCII-Wert 32. Die Logo-Grundfunktion WORT (siehe Kapitel I, Abschnitt 1.7) fügt die drei Leerzeichen zu einem dreistel- ligen "Leerwort" zusammen.

Die Prozedur WERTETAFEL.VI dient natürlich wieder nur dazu, das eigentliche (endrekursive) Arbeitspferd WERTETAFEL.VI1.HP aufzurufen. Der Eingabepara- meter :FN steht für "Funktionsname"; :FN enthält also nicht die Funktion selbst, sondern nur ihren Namen. Die Funktion erhalten wir in der Form einer Liste als WERT dieses Namens, also als WERT :FN. Durch den Aufruf TUE WERT :FN wird die Auswertung der Funktion an der augenblicklichen Stelle :X veranlaßt.

Im folgenden werden wir einige Beispiele betrachten. Vorher sollte am besten VERGISS NAMEN eingegeben werden, damit alle globalen Variablen gelöscht wer- den. Eine Bemerkung noch zum stellengerechten Ausdruck: Der besseren Lesbar- keit halber sind die nachfolgenden Wertetafeln in stellengerechter Darstellung ge- druckt. Bei dir wird der Ausdruck nicht in der stellengerechten Form erscheinen. Bei den meisten Heimcomputern ist es ziemlich mühsam, stellengerechte Ausdrucke zu erreichen. Wenn du etwas geübter bist, kannst du dir Hilfsprozeduren für den stellengerechten Ausdruck schreiben. (Eine Gruppe solcher Prozeduren ist in dem Buch "Programmieren lernen mit Logo", Hanser Verlag, beschrieben),

108

SETZE "Fl [:X *#:ıX# ıX ] WERTETAFEL.V "Fl 0 6 0.5

UN BPRUUNDDNDHHROO {in in Hr oO fi W =J u

Bei der Abarbeitung des letzten Aufrufs hat die Variable FN den Wert Fl, und Fl hat den Wert [:X *:X *:X ]. Man kann sich dies anhand des folgenden Bildes

vorstellen; FN — FI — [X"FX’X]

SETZE "F2 [ 2*#ıX*ıX - 3*QW:X ] WERTETAFEL.V1_ "F2 10 15 ı

10 190.513

1l 232.05

12 277.607

13 327.183

14 380.775

15 438.381

Aufgabe 5.1: Schreibe eine Funktion LEERSTELLEN :N, die ein Wort zurückgibt, das aus :N Leerstellen besteht.

Aufgabe 5.2: Was würde passieren, wenn du die Wertetafel-Funktion so aufrufst: (a) WERTETAFEL.VI FI 0 6 05 (b) WERTETAFEL.VI :F2 10 15 1

Das letzte Beispiel entspricht dem Aufruf WERTETAFEL.VI [2"X*xX - 3*0W:xX] ID 15 109

Bei diesem Aufruf ist nicht der Funktionsname, sondern die Funktionsliste selbst eingegeben worden. Dies muß natürlich in der Prozedur WERTETAFEL.V]I an der Stelle zu Schwierigkeiten führen, wo diese Liste erst als der Wert der Variablen FUNKTIONSNAME ermittelt werden soll.

Andererseits können wir aber die obigen Prozeduren leicht so abändern, daß die Funktionsliste selbst (und nicht ihr Name) einzugeben ist. Dazu müssen wir nur den Befehl WERT vor :FN herausnehmen. Wir brauchen der Funktion dann nicht ein- mal einen Namen zu geben. Mit dieser kleinen Änderung würde der Aufruf in (*) ordentlich verarbeitet. Es gehört allerdings zum guten Programmierstil, den Eingabeparameter FUNKTIONSNAME umzubenennen. Denn jetzt wird ja eine Funktionsliste eingegeben.

109

PR WERTETAFEL.V2 :FUNKTIONSLISTE :ANFANG :ENDE :SCHRITT WERTETAFEL.V2.HP :FUNKTIONSLISTE :ANFANG :ENDE :SCHRITT ENDE

PR WERTETAFEL.V2.HP :FL :X ENDE :SCHRITT

WENN :X > :ENDE DANN RUECKKEHR

( DRUCKEZEILE :X LEERSTELLEN TUE !FL ) WERTETAFEL.V2.HP :FL ( :X + :SCHRITT ) :ENDE :SCHRITT ENDE

Einige Beispiele:

WERTETAFEL.V2 [ 3*:X + 17] (-5) 8 2 -5 -3 -1 1 20 3 5 7

WERTETAFEL.V2 [ 1.7 +30 % X - 4.905 *:X#:X)] 05

1.7 26.795 42.03 47.555 43.22 29.075

unPuWbHONRr

Der LIESLISTE-Befehl von Logo

Diese Stelle eignet sich gut, um einmal zu zeigen, wie man ein Dialogprogramm um die "Kernfunktionen" herum schreiben kann: eine typische Anwendungsmöglichkeit für den LIESLISTE-Befehl von Logo.

1: PR WERTETAFEL.DIALOG 2: LOKAL "F LOKAL "A LOKAL "E LOKAL "S ı DRUCKEZEILE [ GIB EINEN FUNKTIONSTERM EIN: ] : SETZE !F 4LIESLISTE : DRUCKEZEILE [ ANFANGSWERT: ] 3: SETZE "A ERSTES LIESLISTE 7: DRUCKEZEILE [ ENDWERT: ] 8: SETZE "E ERSTES LIESLISTE 9; DRUCKEZEILE [ SCHRITTWEITE: ] 10: SETZE "S ERSTES LIESLISTE 11: WERTETAFEL.V1I :F :ıh :E 3:5 12: DRUCKEZEILE [ NOCH EINE WERTETAFEL? (J/N): ] 13: WENN ERSTES LIESLISTE = "I DANN WERTETAFEL.DIALOG 14: ENDE

Diese Prozedur wird im Anschluß an den folgenden Dialog erläutert:

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Benutzer: WERTETAFEL.DIALOG

Logo: GIB EINEN FUNKTIONSTERM EIN: Benutzer: :X / (5 + 0.9 * ::X + 0.005 # :X * X) Logo: ANFANGSWERT: Benutzer: O0 Logo: ENDWERT: Benutzer: 120 Logo: SCHRITTWEITE: Benutzer: 10 Logo: 10) e) 10 0.689655 20 0.8 30 0.821918 40 0.816326 50 0.8 60 0.779221

l20 0.648649

Logo: NOCH EINE WERTETAFEL? (J/N): Benutzer: N

Erläuterung der Prozedur WERTETAFEL.DIALOG: Die Variablen F, A, Eund S stehen für Funktion, Anfangswert, Endwert und Schrittweite. Wenn Logo auf den Befehl LIESLISTE (kurz: LL) stößt, packt es alles, was bis zum nächsten Carriage- Return-Zeichen folgt, in eine Liste, die als Funktionswert von LIESLISTE zurück- gegeben wird. Eingabe-Teile, die durch das Leerzeichen getrennt sind, geben ver- schiedenen Listenelemente ab. (Beim deutschen Logo für den APPLE II Computer ist an Stelle von LIESLISTE das Grundwort EINGABE zu verwenden).

Nach der Aufforderung "GIB EINEN FUNKTIONSTERM EIN!" wird durch den LIESLISTE-Befehl im obigen Dialog die Liste

I: &763 #8 BIT ee OFFER FEN) ] zurückgegeben und der lokalen Variablen F als Wert zugeordnet (Zeile 4). Dieser Funktionsname wird in Zeile 11 an die Prozedur WERTETAFEL.VI weitergereicht. Nach der Aufforderung "ANFANGSWERT:" (Zeile 5) wird durch den LIESLISTE- Befehl die Liste [ OÖ ] weitergegeben. Der Anfangswert ist das erste Element dieser Liste. Dem wird in dem Befehl

SETZE "A ERSTES LIESLBSTE

Rechnung getragen (Zeile 6). In den Zeilen 7 und 8 geschieht Entsprechendes in bezug auf den Endwert und in den Zeilen 9 und 10 in bezug auf die Schrittweite.

Aufgabe 5.3: Ersetze im obigen Dialog den Befehl DRUCKEZEILE durch DRUCKE und beobachte, wie sich das auswirkt.

Ill

Die Prüfwörter von Logo (siehe Kapitel 2, Abschnitt 2.8) ermöglichen eine Werte- tafel-Prozedur, bei der man nach Belieben entweder den Funktionsnamen oder die Funktionsliste eingeben kann.

PR WERTETAFEL :F :ANFANG :ENDE :SCHRITT WENN NAME? :F DANN

WERTETAFEL.V1 :F :ANFANG ;ENDE :S5CHRITT WENN LISTE? :F DANN

WERTETAFEL.V2 :F :ANFANG ;ENDE :S5CHRITT ENDE

Ein Beispiel:

SETZE "F3 L[ (SIN :X) + (cos :X) ] 3:0,

WERTETAFEL "F3 (-2) 5 -2 0.964491 1,5 0.973443 = 1 0.982395 04:5 0.991197 0 1 0.5 1.00865 1 1.0173 1.5 1.02579 2 1.03429 2.5 1.04262 3 1.05096

Dasselbe Ergebnis hätte man auch durch den Aufruf WERTETAFEL [ (SIN :X) + (COS :X) ] (-2) 3 0,5 erhalten.

Aufgabe 5.4: Baue die Wertetafel-Prozeduren so aus, daß auch ein anderer Va- riablenname als X verwendet werden kann.

Aufgabe 5.5: Stelle die Wertetafel-Prozeduren zu einer Bibliothek (zum Beispiel unter dem Dateinamen WERTETAFELN) zusammen.

5.2 Funktionsschaubilder

Der Unterschied zwischen einer Wertetafel und einem Funktionsschaubild besteht im Prinzip nur darin, daß beim Funktionsschaubild nicht die Werte x und f(x) ausge- druckt werden, sondern daß stattdessen in einem (x/y)-Koordinatensystem ein Punkt an die Stelle (x / f(x)) gezeichnet wird.

Beim Zeichnen auf einem Computerbildschirm sind allerdings noch einige spezielle Probleme zu lösen. Sie ergeben sich aus der Begrenztheit des Bildschirms und aus der herstellerabhängigen Einteilung des Bildschirms in ein Zeilen- und Spaltenraster.

Die folgende Beschreibung bezieht sich zwar auf den Bildschirm des Commodore 64

Computers, sie ist aber leicht auf andere Computer mit Graphik-Bildschirmen zu übertragen.

112

Das deutsche Logo für den Commodore 64 Computer verfügt über zwei Graphik- darstellungen:

(1) Im Vollbild-Modus (englisch: fullscreen mode) wird der gesamte Bildschirm zur Darstellung von Graphiken verwendet. Die vier Ecken des Bildschirms haben dabei die folgenden Koordinaten:

(-160/130) (159/130)

(-160/-129) | (159/-129)

Bild 5.1: Vollbild-Modus

(2) Im Teilbild-Modus (englisch: splitscreen mode) wird der untere Bildschirmrand von vier Textzeilen überlagert.

(-160/130) (159/130)

(-160/-75) Ä (159/-75) 4 Text-Zeilen | (-160/-129) (159/ - 129) Bild 5.2; Teilbild-Modus

Im Teilbild-Modus ist also ein kleinerer Graphik-Bereich sichtbar als im Vollbild- Modus. Der von den vier Textzeilen verdeckte untere Bildschirmrand kann aber sowohl von Hand als auch vom Programm aus ein- oder ausgeblendet werden. Ne- ben diesen beiden Graphik-Modi gibt es natürlich noch den gewöhnlichen Text- Modus, wo der gesamte Bildschirm für Textzeilen verwendet wird.

Die Umschaltung zwischen den einzelnen Modi erfolgt entweder mit Hilfe von Logo-Grundbefehlen oder mit Hilfe von Control-Tasten oder mit Hilfe der Funk- tionstasten:

Control- Funktions- Taste

Modus Grundbefehl

Text TEXTSCHIRM Teilbild TEILBILD F3 Vollbild VOLLBILD F5

Nach diesen technischen Vorbemerkungen nun zurück zu den Funktionsschaubil- dern. Bevor wir mit dem Zeichnen anfangen, müssen wir festlegen, welcher Aus- schnitt der gewöhnlichen (x/y)-Ebene auf dem Bildschirm abgebildet werden soll und welchen Bildschirmausschnitt wir benutzen wollen. (Wir wollen das Problem so

113

lösen, daß wir jeden beliebigen Bildschirmausschnitt vorgeben können, in dem ge- zeichnet werden soll).

Um griffige Namen zur Verfügung zu haben, bezeichnen wir die Koordinaten der gewöhnlichen (x/y)-Ebene als die Weltkoordinaten und die Koordinaten auf dem Bildschirm als die Bildschirmkoordinaten.

Die Weltkoordinaten des Ausgangsrechtecks werden im folgenden mit :X und :Y bezeichnet und durch die "Randwerte" :XMIN, !:XMAX, :YMIN und !:YMAX be- grenzt. Die Bildschirmkoordinaten werden mit :XB und :YB bezeichnet und durch die Randwerte :XBMIN, :XBMAX, :YBMIN und :YBMAX begrenzt. (Das "B" soll dabei an "Bildschirm" erinnern).

Die Wahl der Randwerte für die Weltkoordinaten ist völlig beliebig; die Bildschirm- Randwerte müssen dagegen den folgenden Einschränkungen genügen:

-160 < : XBMIN < :XBMAX < 159 =129 < :YBMIN < : YBMAX s 130

Ein typischer Satz von Eckwerten könnte zum Beispiel folgendermaßen aussehen:

(a) Weltkoordinaten: :XMIN = -3 :XMAX = 8 :YMIN = -1,.3 ıYMAX = 5,5

(b) Bildschirmkoordinaten: :XBMIN = -100 :XBMAX = 100 :YBMIN = -60 :YBMAX = 120

Wir stehen nun also vor dem Problem, die Punkte des gewählten Welt-Rechtecks auf die entsprechenden Punkte des Bildschirm-Rechtecks abzubilden.

„Welt”-Rechteck

Bildschirm-Rechteck

— — u m ——.=>

Bild 5.3

Die einfachste Möglichkeit, das Welt-Rechteck auf das Bildschirm-Rechteck abzu- bilden, besteht darin, die x-Werte und die y-Werte der Weltkoordinaten getrennt auf den Bildschirm zu übertragen.

Beginnen wir zunächst mit den x-Werten. Im Urbild können sie zwischen :XMIN und :XMAX variieren; ihre Bildwerte bewegen sich zwischen !:XBMIN und :XBMAX. In anderen Worten ausgedrückt, liegt das Problem vor, das Intervall (:XMIN ; :XMAX ) auf das Intervall (:XBMIN ; :XBMAX) abzubilden.

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Die Abbildung eines Intervyalls auf ein anderes Intervall ist ein Problem von allge- meinem Interesse. Deshalb wollen wir es hier in allgemeinem Zusammenhang und mit allgemeinen Bezeichnungen besprechen.

Wir wollen also das Intervall (a; b) auf das Intervall (ce; d) abbilden. Die eın- fachste Möglichkeit hierfür liefert die zentrische Streckung. Das Bild des Punktes x aus (a: b) wird im folgenden mit u bezeichnet.

b

Bild 5.4 zentrische Streckung q

Mit Hilfe des dritten Strahlensatzes erhalten wir die Gleichung:

4 = © x a

d=-c b-a

Hieraus folst:

u= (x-a) * + c (*)

b-a

Die Transformationsfunktion, die uns zum gegebenen x-Wert den entsprechenden "Bildwert" u liefert, wollen wir mit TRANS bezeichnen. Wir können (*) deshalb